Problème proposé par Pierre Renfer

D366. Les faces de même aire ont même air Problème proposé par Pierre Renfer

Soit ABCD un tétraèdre dont les quatre faces ont la même aire.

Montrer que les quatre faces sont isométriques, les longueurs des arêtes vérifiant :AB = CD et AC = BD et AD = BC .

L'égalité des aires des 4 faces équivaut à l'égalité des 4 hauteurs. On part d'un triangle quelconque ABC et on cherche D tel que les 4 hauteurs du tétraèdre soient isométriques. Un repère orthonormé est choisi tel que les coordonnées de A, B, C soient : A(0, 0, 0), B(b, 0, 0) avec b > 0, C(c, d, 0) avec d ≠ 0.

Le point D, inconnu, a pour coordonnées (u, v, w) avec w> 0.

Les trois distances de de C au plan ABD, de B au plan ACD, A au plan BCD, doivent être égales à w.

Plan ABD : yw – zv = 0 il faut ∣(dw)∣

√

^(w2+v2)=w soit d² = w² + v² (1) Plan ACD : xdw – ycw +z (cv – du) = 0, il faut ∣(bdw)∣

√

^{(d2∗w2+c2∗w2+(cv−du)2)=w}

soit w²(c²+d²)+ (cv – du)² = b²d² (2) Plan BCD : dwx + (b-c)wy + (bd – bv +cv – du)z – bdw = 0, il faut

∣(bdw)∣

√

^{((d2+(b−c)2)∗w2+(bd−bv+cv−du)2)=w} soit (d²+(b – c)²)w² + (bd – bv +cv – du)² = b²d² (3) Par différence des équations (2) et (3) w²(b² – 2bc) + b²(d – v)² + 2b(d – v)(cv – du) = 0

On remplace w² par (d² – v²) mais on simplifie par (d – v)b qui n'est pas nul :

(d+v)( b – 2c) + b(d – v) + 2(cv – du) = 0 2d(b – c) – 2du = 0 u = b – c.

Dans l'équation (2) on remplace u par b – c et w² par d² – v² :

(c²+d²)(d² – v²) + (cv – d(b–c))² – b²d² = 0 d²v² +2cd(b–c)v + d²(2bc–2c²–d²) = 0 qui admet deux solutions : v = –d et v = d +2(c–b)c/d . On exclut v = – d qui donne un tétraèdre aplati

w² = d² – v² = –4(c–b)c – (2(c–b)c/d)²

Connaissant D( b–c, d +2(c–b)c/d , w) et C(c, d, 0) on calcule CD² :

CD² = (b –2c)² + ( 2(c–b)c/d )² + w² = (b –2c)² + (2(c–b)c/d )² – 4(c–b)c – (2(c–b)c/d)² CD² = (b – 2c)² – 4c(c – b) = b² = AB² . Donc CD = AB.

AD² = u²+v²+w² = (b–c)² + (d+2(c–b)c/d)² –4(c–b)c – (2(c–b)c/d)² = (b–c)² + d² = BC², donc AD = BC.

BD² = (u–b)²+v²+w² = c² + (d+2(c–b)c/d)² –4(c–b)c – (2(c–b)c/d)² = c² + d² = AC², donc BD = AC.

Si les 4 faces d'un tétraèdre ont même aire, les arêtes opposées ont même longueur, les 4 faces sont des triangles isométriques.