Enoncé D351 (Diophante) Douze arêtes pour un polyèdre
Existe-t-il un polyèdre pas nécessairement convexe qui a huit som- mets A,B,C,D,E,F,G,H et dont on connaît la liste complète des douze arêtes : AB,AC,AH,BC,BD,CD,DE,EF,EG,FG,FH,GH sa- chant que cinq d’entre elles sont de longueur 5 et les sept autres de longueur 2 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit le tétraèdre ABCD dont les arêtes sont de longueur 5, sauf AD de longueur 20/3. Sont donc de longueur 5 : AB,AC,BC,BD,CD.
Le milieu de AD est le centre d’une homothétie de rapport 2/5, qui transforme ABCD en HFGE. Les arêtes du tétraèdre EFGH sont de longueur 2, sauf EH de longueur 8/3. Les segments AH et DE sont de longueur (20/3−8/3)/2 = 2, comme HF,HG,FG,EF,EG.
Remarque. Si le polyèdre n’a pas de “trou”, il a 6 faces par la for- mule de Descartes. Les arêtes AH et DE séparent les deux mêmes faces non triangulaires, et sont donc portées par la même droite intersection des deux plans de faces. Le centre d’homothétie appar- tenant aux deux plans assure la planéité des hexagones ABDEFH et ACDEGH.