Orsay 2006-2007, pr´eparation au C.A.P.E.S. G´eom´etrie, ´ecrit Devoir no2
Pentagones affines r´eguliers.
(`a rendre le 6 Novembre)
Soient a, b, c, d, e cinq points deux `a deux distincts d’un plan affine E de plan vectoriel sous-jacent E. On suppose que le pentagone~ abcde est non d´eg´en´er´e : les cinq points ne sont pas sur une mˆeme droite. On note a0, b0, c0, d0, e0 les milieux de [cd],[de],[ea],[ab],[bc].
1) Dans cette question on suppose que (ab)k(ce),(bc)k(da),(cd)k(eb),(de)k(ac),(ea)k (bd). On d´efinit le point a1 par la relation −→
ab=−→ea1.
1-a) Soita2 le milieu de [eb]. Montrer quea, a2, a1 eta0 sont align´es.
1-b) Montrer que l’isobarycentre g des points a, b, c, d, e est `a l’intersection des m´edianes (aa0),(bb0),(cc0),(dd0),(ee0) (on admettra que l’hypoth`eseabcdenon d´eg´en´er´e implique, avec l’hypoth`ese de parall´elisme, que a6=a0, b6=b0, etc...; ceci implique d’ailleurs que g, a, b ne sont pas align´es).
1-c) Soitω le r´eel tel que −→ec=ω−→ea1. 1-c-i) Montrer que −→
eb= 1−ω1 −→ cd.
1-c-ii) Soit b1 le point tel que −→ ba=−→
cb1. Montrer qu’on a aussi −→ce=ω−→
cb1, et en d´eduire que −→−→ec
ba = 1−ω1 .
1-c-iii) En calculant d’une autre fa¸con −→−→ec
ba, montrer que ω est solution de l’´equation ω2= ω+ 1.
Donner deux exemples de pentagones abcde non d´eg´en´er´es dans le plan complexe sat- isfaisant l’hypoth`ese de parall´elisme, o`u la constante ω est respectivement positive puis n´egative.
2) Dans cette question on suppose que les m´edianes (aa0),(bb0),(cc0),(dd0),(ee0) sont d´efinies (a 6=a0, b6= b0, etc...), sont concourantes en un point g, et queg, a, b ne sont pas align´es.
On introduit les coordonn´ees cart´esiennes suivantes dans le rep`ere R= (g, a, b) :
a0
α
0
R
, b0
0
β
R
, d
x
y
R
2-a) D´eterminer les coordonn´ees ded0, c, e, c0, e0.
2-b) Quelle relation exprime l’alignement de g, d, d0 ? Quelle relation exprime l’alignement de g, c, c0 ? Quelle relation exprime l’alignement deg, e, e0 ? Montrer par un exemple que (ab) et (ce) peuvent ˆetre s´ecantes.
2-c) Dans cette question on suppose en plus que g est l’isobarycentre dea, b, c, d, e.
2-c-i) Montrer qu’alors (ab) k (ce),(bc) k (da),(cd) k (eb),(de) k (ac),(ea) k (bd) et calculer le rapport ω correspondant en fonction de α.
2-c-ii) Montrer quea0b0c0d0e0 est homoth´etique deabcde (donner le centre et le rapport).
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