D343 – Décomptes d’ébéniste amateur [*** à la main]
Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P₁ en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig coupe délicatement une petite pointe à chaque sommet de P₁ et obtient un nouveau polyèdre P₂ dont il compte les sommets, les arêtes et les faces. L’un des trois entiers qu’il a calculés est égal à 23.
Q₁ Quel est le nombre d’arêtes de P₁ ? Q₂ Décrire un exemple simple de P₁.
Solution proposée par Daniel Collignon
Une arête reliant deux sommets, nous avons la relation sum(s in S, d(s))=2a où d(s) désigne le degré d'un sommet s pris dans S l'ensemble des sommets.
P1 possède s sommets, a arêtes et f faces. Étant un polyèdre convexe, il vérifie la relation d'Euler f+s=a+2.
Il est aisé de montrer alors que P2 possède 2a sommets, a+2a=3a arêtes et f+s=a+2 faces. 23 n'étant pas un multiple de 2 ou de 3, la seule possibilité est a+2=23, d'où a=21 (Q1).
Un exemple simple pour P1 est un prisme à base heptagonale (s=14, a=21, f=9)
Remarque : sans la contrainte de 2 faces identiques et parallèles, il y aurait aussi son dual, un diamant heptagonal ou bipyramide heptagonale (s=9, a=21, f=14)
