D346 – Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit nœuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est
parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm³. En déduire a.
Solution proposée par Patrick Gordon
Les douze lacets sont les arêtes d'un cube et les huit nœuds sont ses sommets. La longueur de chaque lacet est donc a.
Quand on place le filet sur une sphère de telle sorte qu'il soit parfaitement tendu sur la surface, celui-ci prend la forme d'un "cube curviligne" dont les arêtes sont des arcs de grands cercles.
Soit AB une arête et C'D' l'arête diamétralement opposée. L'arc curviligne AB a pour longueur R, R étant le rayon de la sphère et l'angle au centre sous lequel est vu AB.
Mais BC' est une diagonale de face carrée d'un cube (dont il n'est pas nécessaire à ce stade de calculer l'arête) et donc BC' / AB = √2. D'où :
tan = 1/√2.
D'où :
a = 2R Atan (1/√2).
Or R nous est connu par le volume de la sphère, soit : 4R3/3 = 9200 cm³.
Le calcul donne : R = 12,9987 cm
Atan (1/√2) = 0,61548 radians (soit 35,26° d'où = 70,53°) D'où (en chiffres ronds) :
a = 16 cm
À titre d'information et de contrôle de vraisemblance, l'arête du cube rectiligne des nœuds vaut (en chiffres ronds) 15cm.
