Le ballon dans son filet
Problème D346 de Diophante
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit nœuds, qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm3. En déduire a.
Solution
Soit le cube ci-dessous et la sphère circonscrite, qui n'est pas représentée ici.
Imaginons que nous gonflions le cube alors les faces se collent à la sphère et les
arêtes deviennent des arcs de grands cercles (les lacets n'étant pas extensibles, la taille du cube diminue).
Ainsi l'arc AB se situe dans le plan diagonal ABCD, où BC = AB √2.
La mesure de l'arc AB vaut 2*Arctg(1/√2) [ 1,23 … rad ou 70,52 … degrés ] Calculons, pour la sphère de volume 9200 cm3 :
- rayon de la sphère : R = rac3 (3*9200/4) = 13 cm - longueur de l'arc AB : a = 13*1,23 = 16 cm
