Enoncé D346 (Diophante) Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs ex- trémités de manière à constituer un filet comportant huit noeuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm3. En déduire a.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le filet étant tendu sur la sphère de volumeV, les noeuds sont aux sommets d’un cube, par raison de symétrie. Soient A et B deux sommets adjacents, etA0 diamétralement opposé àA.
Dans le grand cercle circonscrit au triangle ABA0, de diamètre AA0 = 3
q
6V /π, l’arc AB de longueur aest vu sous l’angle a/AA0 de sinus 1/√
3, rapport de l’arête (le segment AB) à la grande diagonaleAA0 du cube.
a= 3 q
6V /πarcsin(1/√
3) = 16,000865497 soit 16 centimètres à 9 micromètres près.
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