D346. Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit noeuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm3.En déduire a.
Solution proposée par Gaston Parrour Préliminaires :
Le filet peut s'ajuster à un volume cubique avec ses 8 sommets équidistant. Cela conduit à dire : → la configuration finale « filet tendu sur la sphère » est totalement symétrique : les 8 nœuds sont équidistants sur une sphère de centre O
Cela a pour conséquences :
1 – Le chemin qui relie deux nœuds voisins est le plus court possible
→ chaque lacet qui relie deux nœuds, est sur un grand cercle de la sphère (géodésique)
2 – Puisque l'espace peut être divisé en 8 trièdres trirectangles (8 octants égaux), chacun de ces 8 nœuds peut être considéré comme le point sur la sphère où passe chacune des 8 droites issues de O, à même distance angulaire des trois axes définissant les huit trièdres : les 8 « bissectrices de ces trièdres ».
→ La sphère (ballon) est repérée dans le système direct orthonormé Oxyz, les vecteurs unitaires sont i, j, k 1 - Angle TETA entre deux « bissectrices de trièdre » appartenant à deux octants adjacents
Cosinus directeurs de la « bissectrice » du premier octant :
Le vecteur unitaire u1 de cette première bissectrice a, par définition, ses trois cosinus directeurs c1, c2, c3 égaux
et avec c12 + c22 + c32 = 1 ,
==> la valeur commune c des cosinus directeurs de u1, – tous positifs -, est donc c = 1/sqrt(3)
==> les cosinus directeurs d1, d2, d3 de u2 vecteur unitaire de la « bissectrice » du second octant (défini par x < 0 , y >0 z > 0), sont donc
d1 = - c d2 = c d3 = c
L'angle TETA entre u1 et u2 s'obtient par le produit scalaire S de ces deux vecteurs unitaires S = u1 . u2 = cos TETA = c1d1 + c2d2 + c3d3 = 1/3
==> TETA = Arc cos (1/3) (angle en radian) 2- Valeur de a longueur de l'arête du cube
Puisque le lien entre deux nœuds appartient à un grand cercle, on en déduit : a = R x TETA sur ce grand cercle
où R est le rayon de la sphère (ballon)
Avec un volume V = 4/3 pi R3 = 9200 cm3 , on en déduit a = (3V/(4pi)) 1/3 x Arc cos (1/3) a = 12.99869... x 1.23095...
== > a sensiblement égal à 16 cm (a=16.000865...)
