(1)A430 - Aire maximale d’un quadrilatère dont le périmètre est donné

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A430 - Aire maximale d’un quadrilatère dont le périmètre est donné.

Solution

La surface d’un quadrilatère est maximum quand celui-ci est inscriptible dans un cercle. Cette propriété résulte de la formule de Bretscheider qui donne l’aire A d’un quadrilatère en

fonction des côtés a,b,c,d et de l’angle u qui est la somme de deux angles opposés du quadrilatère.

A = (s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)-a*b*c*d*cos2(u/2) avec s = demi-périmètre = (a+b+c+d)/2

Il apparaît que A est maximum quand u/2π/2  A= (s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)

Par hypothèse s=10. Les valeurs possibles de a,b,c,d varient entre 2 et 9.

Un programme très simple sur ordinateur permet d’obtenir le maximum de A6 14 pour a=3, b=4, c=6 et d=7

Figure

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