Enoncé D1885 (Diophante) La balle au centre Soit le triangle

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Enoncé D1885 (Diophante) La balle au centre

Soit le triangle ABC et 3 céviennes concourantes en M. On construit les points D sur BC, E sur AC et F sur AB de sorte que les droites [EF], [F D] et [DE] sont respectivement perpendiculaires à [AM], [BM] et [CM]. On traceN orthocentre deDEF etO milieu de M N. Que sont les symétriques de D,E,F par rapport àO?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

S’il est facile d’imaginer la configuration de l’énoncé, sa construction effec- tive demande quelque réflexion. Une conclusion peut néanmoins être tirée dès ce stade.

La symétrie par rapport à O transforme le triangle DEF en un triangle U V W d’orthocentre M (symétrique de N). Les droites M U, M V, M W sont les hauteurs, perpendiculaires à EF, F D, DE, et donc parallèles à M A, M B, M C. Ainsi U, V, W sont sur M A, M B, M C respectivement.

Comme on peut en juger sur la figure ci-contre, la construction de ces points ne dévoile pas de propriétés supplémentaires qu’on pourrait chercher à démontrer.

Construction

Les perpendiculaires enA,B etC àM A,M B etM C respectivement dé- finissent un triangleD0E0F0 homothétique àDEF, du fait du parallélisme des côtés.

Les parallèles àBC,CAetABmenées parD0,E0etF0forment un triangle A0B0C0 homothétique à ABC, et les droites AA0,BB0 etCC0 concourent au centre d’homothétie P.

P D0,P E0 etP F0 coupent respectivement BC,CA etAB etD,E etF.

et avec zoom surDEF

Figure

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