Enoncé D1866 (Diophante) Axes en croix
Soient un triangle ABC et un pointM du plan.
La parallèle au côté BC passant parM coupe la droite [AB] au point P et la droite [CA] au pointP0.
La parallèle au côté CA passant parM coupe la droite [BC] au point Q et la droite [AB] au point Q0.
La parallèle au côté AB passant par M coupe la droite [CA] au point R et la droite [BC] au pointR0.
On trace les cercles (Γ) et (Γ0) circonscrits aux triangles P QRetP0Q0R0. Q1 Déterminer le lieu du point M tel qu’il appartient à l’axe radical des deux cercles (Γ) et (Γ0).
Q2 Indiquer une construction de ce lieu à la règle et au compas.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Figure : L point de Lemoine, XY axe radical ; si M est sur GL (droite rouge),M est sur XY (droite bleue).
Je travaille en coordonnées barycentriques de baseA, B, C.
A partir du pointM(u, v, w) (supposantu+v+w= 1), on aP(u,1−u,0), P0(u,0,1−u),Q(0, v,1−v),Q0(1−v, v,0),R(1−w,0, w),R0(0,1−w, w).
L’équation de (Γ) est de la forme−a2yz−b2zx−c2xy+lx+my+nz = 0, oùl, m, nsont déterminés par la condition queP, Q, Rsatisfont l’équation.
On a ainsi
–pour P,−c2u(1−u) +lu+m(1−u) = 0, –pour Q,−a2v(1−v) +mv+n(1−v) = 0, –pour R,−b2w(1−w) +l(1−w) +nw= 0.
Ce système est, en écriture matricielle
u 1−u 0
0 v 1−v
1−w 0 w
·
l m
n
=
c2u(1−u) a2v(1−v) b2w(1−w)
et se résout avec le tableau des mineurs, transposé pour permettre les produits ligne par colonne, en
(vw+wu+uv)
l m
n
=
vw −w(1−u) (1−u)(1−v)
(1−v)(1−w) wu −u(1−v)
−v(1−w) (1−w)(1−u) uv
·
c2u(1−u) a2v(1−v) b2w(1−w)
Le déterminant estvw+wu+uv du fait quue u+v+w= 1.
Cela fournit l, m, n et en particulier lu+mv +nw, produit du vecteur ligne (u, v, w) par le vecteur-colonne (l, m, n) ; le produit de (u, v, w) par la matrice des mineurs est le vecteur-ligne (uv, vw, wu), d’où
lu+mv+nw= a2v2w(1−v) +b2w2u(1−w) +c2u2v(1−u)
vw+wu+uv .
De même, les coefficientsl0, m0, n0 de l’équation de (Γ0) satisfont le système
u 0 1−u
1−v v 0
0 1−w w
·
l0 m0
n0
=
b2u(1−u) c2v(1−v) a2w(1−w)
qui se résout en
(vw+wu+uv)
l0 m0
n0
=
vw (1−u)(1−w) v(1−u)
−w(1−v) wu (1−u)(1−v) (1−v)(1−w) −u(1−w) uv
·
b2u(1−u) c2v(1−v) a2w(1−w)
On en tire l0, m0, n0 et en particulier
l0u+m0v+n0w= a2w2v(1−w) +b2u2w(1−u) +c2v2u(1−v)
vw+wu+uv .
L’axe radical de (Γ) et (Γ0) admet pour équation (l−l0)x+ (m−m0)y+ (n−n0)z= 0.
Ainsi la condition pour que M appartienne à cette droite est lu+mv+nw−(l0u+m0v+n0w) = 0.
Elle s’écrit, compte tenu que u+v+w= 1 uvw(u(c2−b2) +v(a2−c2) +w(b2−a2)) = 0.
Le lieu de M se décompose donc en quatre droites dont les droites [BC],[CA],[AB]. Pour préciser la quatrième, observons que son équation est satisfaite par les triplets (u, v, w) = (1,1,1) et (a2, b2, c2) ; ce sont les coordonnées du centre de gravité G du triangle et de son point de Le- moine L, point de concours des symédianes. C’est donc la droite [GL], si ces deux points sont distincts (ABC non équilatéral) ; si ABC est équi- latéral, tout le plan convient ; si ABC est isocèle, la quatrième droite est l’axe de symétrie.
Les constructions classiques deG et L par la règle et le compas donnent la réponse à la question 2.
