Enoncé D1847-pb2 (Diophante)
On trace un triangleABC(AB < AC), son cercle circonscrit (Γ) de centre O et la bissectrice intérieure (∆) de l’angle enA. La parallèle passant par O à (∆) coupe la droite [BC] au point D et la perpendiculaire en D à cette même droite [BC] coupe (∆) enE. Le cercle de centreDet de rayon DA coupe la droite [BC] en un pointP du même côté queB par rapport à D. Le cercle circonscrit au triangle AEP coupe la droite [BC] en un deuxième pointQ et le cercle (Γ) en un deuxième point R.
Démontrer que la droite QR est tangente au cercle (Γ).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La bissectriceAE fait le même angle (AE, AO) = (B−C)/2 = (ED, EA) avec la médiatriceDE et avec le rayonOA1. Ainsi AODE est un trapèze isocèle, admettant pour axe de symétrie la médiatrice (M) commune aux segments AE et OD. Le centre W du cercle (W) circonscrit au triangle AEP appartient à cet axe. Les pointsA, O, D, E sont cocycliques.
Les segmentsAP etARont respectivementDW etW Opour médiatrice.
AE est bissectrice de l’angle (AP, AR) ; en effet
AP, AE) = (AP, DW) + (DW, OD) =π/2 + (DW, DO) ; (AE, AR) = (OD, OW) + (OW, AR) = (OD, OW) +π/2.
Ces deux expressions sont égales dans le triangle isocèleW DO.
D’où égalité des arcsP E =ER;Eappartient à la médiatrice du segment P R, qui est EW ; alors (P Q, P R) = (P Q, EW)− π/2 = (ED, EW), puis = (AW, AO) par symétrie par rapport à (M), puis = (RO, RW) par symétrie par rapport àW O.
Dans le triangle isocèleW QR,
(RW, RQ) =π/2−(W Q, W R)/2 =π/2−(P Q, P R).
Ainsi (RO, RQ) = (RO, RW) + (RW, RQ) = π/2, la droite QR est per- pendiculaire au rayonOR de (Γ) et est tangente à ce cercle, CQFD.
1. Ici et dans la suite sauf précision contraire, je travaille en angles orientés de droites non orientées, définis àπprès.
