Enoncé D1883 (Diophante) Réflexions sur réflexions
Dans le plan d’un triangle ABC on trace les points A0,B0 etC0 qui sont les réflexions d’un point P quelconque par rapport aux côtésBC,CA et AB.
Q1 Démontrer que les cercles (AB0C0), (BC0A0) et (CA0B0) sont concou- rants en un même pointQ.
Q2 Déterminer le lieu de Q quand P décrit le cercle inscrit du triangle ABC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Les relations angulaires (AC0, AB) = (AB, AP) et (AP, AC) = (AC, AB0) donnent par addition (AC0, AB0) = 2(AB, AC). En outre AP = AB0 = AC0; ainsiAB0C0 est un triangle isocèle, d’anglesπ/2−AenB0 etC0. Le cercle (AB0C0) peut se décrire comme arc capable, lieu des points vérifiant (M A, M C0) = (B0A, B0C0) =π/2−A.
De même, dans le cercle (BC0A0), on a (M C0, M B) = (A0C0, A0B) = π/2−B.
Ces deux cercles se coupent en C0 et en Q, où on a (QA, QB) = (QA, QC0) + (QC0, QB) =π−A−B = (CA, CB).
Ainsi Q, A, B, C sont cocycliques, Q appartient au cercle circonscrit. On montre de même que (AB0C0) et (CA0B0) se coupent enB0 et en un point du cercle (ABC) qui estQ.
Remarque. Le pointQ est indéterminé quandP est enH, orthocentre de ABC; selon une propriété classique de H,A0, B0, C0 sont alors les points HA, HB, HC du cercle circonscrit, avec lequel se confondent les 3 cercles de l’énoncé.
Question 2
Alors queP est un point quelconque du plan,Q est sur le cercle (ABC) ; un même pointQcorrespond à un ensmble de pointsP que je vais préciser.
(QA, QC0) = π/2 −A = (CA, CH) = (CA, CHC) = (QA, QHC). Si U, V, W sont les symétriques de Q par rapport à BC, CA, AB, l’aligne- ment C0QHC a pour symétrique, par rapport à AB, l’alignement P HW contenantP. C’est le lieu de P à Q donné, et la considération des autres symétries montre que cette droiteP H contient aussi U etV. Les milieux deQU, QV, QW sont les projections deQsur les trois côtés du triangle et sont alignés sur la droite de Simson du pointQ.
Réciproquement, à toute droite passant par H correspond le point Q de concours des 3 symétriques de cette droite par rapport aux côtés du tri- angle.
Les points Q appartenant au cercle (ABC), la détermination du lieu re- vient à identifier les arcs de ce cercle pour lesquels les lieux de P ren- contrent le cercle inscrit. C’est la totalité du cercle quandH est intérieur au cercle inscrit ou sur ce cercle ; sinon, l’arc lieu est limité par les points Qcorrespondant aux tangentes menées deH au cercle inscrit.
La condition d’existence d’un arc inaccessible à Q quand P parcourt le cercle inscrit peut s’écrire HI2 > r2 et s’exprimer en fonction des angles du triangle.
