Enoncé D1954 (Diophante) Le brocard de Zig
Puce trace à main-levée dans un triangle acutangleABC les pro- jections P,Q et R de l’orthocentre H sur les trois médianesAI, BJ etCK puis il trace les cercles circonscrits aux trianglesABP, BCQ et CAR. Zig se moque de lui car sa construction est ap- proximative et les trois cercles ne passent pas par un même point.
Justifier le brocard de Zig.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le cercle de diamètreAH coupe AB, AC etAI en F, E,P res- pectivement (D, E, F sont les pieds des hauteurs). E et F sont sur le cercle de diamètre BC; ainsi AB·AF = AC ·AE = W, et l’inversion de pôle A et de puissance W transforme BC en le cercle de diamètre AH circonscrit à AEF, et I en P. De ce fait AB·AF = W =AI ·AP, et les triangles ABP et AIF, qui ont l’angleAen commun, sont semblables. On a en particulier l’égalité des angles
(P B, AP) = (AB, F I) = (F K, F I) modulo π.
F, I, J, Ksont cocycliques (sur le cercle d’Euler), d’où (F K, F I) = (J K, J I) = (BC, BA) car le triangle IJ K est homothétique du triangleABC (homothétie de centreGet de rapport −1/2).
Le cercle circonscrit au triangleABP est l’arc capable défini par (M B, AM) = (P B, AP) = (BC, BA), cercle tangent enB àBC.
De même le cercle circonscrit au triangle BCQ est défini par (M C, BM) = (CA, CB). Il coupe le précédent en B et en un pointM qui vérifie (moduloπ)
(M C, M A) = (M C, BM)+(M B, AM) = (CA, CB)+(BC, BA) = (CA, BA),
soit (M A, CM) = (AB, AC) qui est l’équation du cercle circons- crit au triangle CAR, CQFD.
Remarque. Sous la forme (AB, AM) = (AB, M B)+(M B, AM) =
= (AB, M B) + (BC, BA) = (BC, BM),
et les relations analogues, on voit que M est le second point de Brocard ; le premier point de Brocard est commun aux cercles circonscrits aux triangles ABQ, BCR, CAP. Quant aux cercles circonscrits aux triangles BCP, CAQ,ABR, leur point commun estHen raison des relations (HC, BH) = (AB, AC) et analogues.
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