Enoncé D1861 (Diophante) Dualité
Soit ABC un triangle quelconque.
Q1
Soient P, Q, R trois points situés respectivement sur les droites (BC), (CA), (AB) et distincts des sommets du triangleABC.
Montrer qu’il existe une conique non dégénérée tangente à (BC), (CA), (AB) enP,Q,Rrespectivement si et seulement si les droites (AP), (BQ), (CR) sont concourantes en un point M.
Quelle conique obtient-on dans le cas particulier où M coïncide avec le centre de gravité du triangle ABC?
Q2
Soient (p), (q), (r) trois droites passant respectivement par A, B, C et distinctes des côtés du triangle ABC. Montrer qu’il existe une conique non dégénérée tangente à (p), (q), (r) en A, B, C respectivement si et seulement si les points d’intersection de (p) et (BC), de (q) et (CA), de (r) et (AB) sont alignés sur une droite (m).
Quelle conique obtient-on dans le cas particulier où (m) coïncide avec la droite de l’infini ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Je travaille en coordonnées barycentriques de base A, B, C.
Une conique du plan a une équation de la forme ax2+by2+cz2−2dyz−2ezx−2f xy= 0.
Elle est tangente à (BC), d’équationx= 0, sibc=d2; le point de contact est donné par by =dz, d’où les coordonnéesP(0, d, b).
De même, le contact avec (CA) exige ac = e2, et est en Q(e,0, a) ; le contact avec (AB) exigeab=f2, et est enR(f, a,0).
Ainsi ad2 =be2 = cf2 =abc; multipliant membre à membre ad2 =abc, be2 =abc,cf2=abc, on a (def)2 = (abc)2.
L’intersection (AP)∩(BQ) a pour coordonnées (be, ad, ab) ; elle appartient à (CR) sibe=df, et alors def =abc.
Il ne semble pas exclu d’obtenir les trois contacts avecdef =−abc, ce qui met la propriété de l’énoncé en défaut.
Si M est le centre de gravité du triangle, P, Q, R sont les milieux des côtés ; b = c = d, c = a = e, a = b = f, et la conique a pour équation x2+y2+z2−2yz−2zx−2xy = 0, c’est l’ellipse de Steiner.
Question 2
Peut-être suffirait-il d’invoquer le principe de dualité pour dire que les conclusions de la question 1 impliquent celles de la question 2. Je vais quand même traiter cette dernière.
La conique d’équation ax2+by2+cz2−2dyz−2ezx−2f xy = 0 passe par A, B, C seulement si a = b = c = 0. La droite y = pz la coupe en y=z= 0 (pointA), et au pointdpz+ex+f px= 0, qui se confond avec A quand e+f p = 0. Ainsi ez +f y = 0 est l’équation de la droite (p), tangente enA à cette conique.
De même (q) a pour équationdz+f x= 0, et (r) :dy+ex= 0.
D’où les coordonnées (p)∩(BC)(0, e,−f), (q)∩(CA)(d,0,−f), (r)∩(AB)(d,−e,0).
Ces points s’alignent sur la droite (m) d’équationx/d+y/e+z/f = 0.
Celle-ci est la droite de l’infini quand d = e = f et la conique a pour équation yz+zx+xy = 0. Cette conique circonscrite au triangle a les mêmes points à l’infini (caractérisés parx2 =yz) que l’ellipse de Steiner ; c’est l’ellipse homothétique de l’ellipse de Steiner dans l’homothétie de centre le centre de gravité et de rapport−2.
