Tangente à une ellipse
Problème D653 de Diophante
proposé par Pierre Leteurtre
Soit une ellipse (E) dont on ne connait que la courbe. D'un point O extérieur à (E), on a tracé les deux tangentes à cette ellipse. Construire à la règle et au compas une tangente à (E) en un point quelconque M de (E).
Solution
Ci-dessous sont tracés (en gras et en bleu) : l'ellipse (E), les deux tangentes issues de O qui coupent (E) en A et en B et un point quelconque M de (E).
Traçons (en mauve) la polaire AB, qui définit la direction nommée y.
Construisons le point nommé I milieu de AB.
Traçons (en vert) l'axe OI, qui définit la direction conjuquée à y, pour (E).
Nommons J et K les intersections de cet axe avec (E).
Construisons le point nommé C milieu de JK.
Traçons (en vert) la perpendiculaire à AB issue de C, nommée Cx.
Construisons le point nommé S projection orthogonale de O sur Cx.
Construisons sur AB le point nommé A' tel que SA'C est un angle droit.
Traçons (en vert) le cercle nommé (E') de centre C, passant par A'.
Construisons le point nommé M' intersection de (E') et My.
Traçons (en vert) la tangente à (E') en M'.
Nommons T l'intersection de cette tangente avec Cx.
Construisons le point nommé U intersection de l'axe OI avec Ty.
Enfin traçons (en gras et en rouge) la droite UM, qui est la tangente en M à (E).
Justification : Dans le repère orthonormé (C,x,y) l'ellipse (E) est l'image du cercle (E') pour l'application linéaire : (x,y) donne (x,k*x+h*y), ici h = 0,8 et k = 0,4.
