D653. Tangente à une ellipse *** Problème proposé par Pierre Leteurtre

D653. Tangente à une ellipse ***

Problème proposé par Pierre Leteurtre

Soit une ellipse (E) dont on ne connaît que la courbe. D'un point O extérieur à (E), on a tracé les deux tangentes à cette ellipse. Construire à la règle et au compas une tangente à (E) en un point quelconque M de (E).

Solution proposée par Jean Nicot

On sait tracer, à la règle et au compas, la médiatrice d’un segment AB, par exemple en construisant deux triangles équilatéraux de base AB et la droite joignant les deux sommets créés ; cela fournit le milieu de AB ; On sait aussi tracer la perpendiculaire en P à une droite avec un cercle centré en P et coupant la droite suivant une corde dont la médiatrice passe par P. On sait tracer une parallèle par P à une droite D avec un premier cercle centré en A sur D, passant par P et recoupant D en B et un second cercle centré en B, passant par A et recoupant un troisième cercle centré en P passant par A en P’ qui est sur la parallèle cherchée puisque PABP’ est un losange. On sait enfin tracer une bissectrice d’un angle avec un cercle centré au sommet coupant l’angle en deux points dont la médiatrice est bissectrice de l’angle.

Soit T le point de contact d’une tangente à (E) passant par O.

D’un point P quelconque intérieur à(E), on trace la parallèle D à OT qui coupe (E) en A et B. On trace le milieu Q de AB. La droite TQ est le lieu des milieux des segments déterminés sur (E) par les sécantes parallèles à OT ; elle passe donc par le centre Ω de l’ellipse qui est le milieu du segment TT’, en notant T’le second point

d’intersection de TQ avec (E).

Un cercle de centre Ω passant par T et T’recoupe (E) en V et W.

Les médiatrices de TV et TW sont les axes de l’ellipse. On obtient les foyers F et F’

avec un cercle centré à l’extrémité du petit axe et de rayon le demi grand axe.

La tangente en un point M de l’ellipse est obtenue en traçant la bissectrice extérieure de l’angle FMF’.