D350. Polygones sphériques
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Déterminer les sommets S1,S2,S3 ...Sn d’un polygone sphérique de n arcs de grand cercle
connaissant les milieux successifs M1,M2,M3...Mn. de ces arcs. M1 est le milieu de S1S2 et ainsi de suite... Mn est le milieu de SnS1.
Application numérique : trouver les sommets de deux quadrilatères sphériques S1S2S3S4 définis par les coordonnées géographiques latitude/longitude des milieux de leurs arcs:
1er quadrilatère : M1 = 30°N-30°O, M2 = 30°N-30°E, M3 = 30°S-30°E, M4 = 30°S-30°O 2ème quadrilatère : M1 = 0°-30°O, M2 = 0°N-30°E, M3 =30°N-0°, M4 =30°S-0° .
A toute rotation de l'espace d'angle α autour de l'axe dirigé et orienté par le vecteur unitaire [a,b,c]
est associé le quaternion q = cos(α/2) i + (ai+bj+ck).sin(α/2).
L'application S1→S2 peut être considérée comme une rotation d'angle 180° autour de l'axe OM1. Ici cos(α/2) = 0 et sin(α/2) = 1 donc q1 = a1i+b1j+c1k.
Aux n points M1,M2,M3...Mn on associe les n quaternions q1,q2,q3...qn. On effectue leur produit : q = qn.qn-1.qn-2...q1. Il lui est associé une rotation spatiale ( exceptionellement l'application identité) L'axe de cette rotation perce la sphère en deux points S1 et S'1 à partir desquels , de proche en proche, on obtiendra les n – 1 autres sommets. On obtient deux polygones symétriques par rapport au centre de la sphère. (Dans le cas de l'application identique on choisit arbitrairement S1 )
1er quadrilatère :
Les 4 vecteurs OM1 , OM2 , OM3 ,OM4 ont pour coordonnées cartésiennes : (axe Oy vers l'Est ) [3/4, – √3/4, 1/2], [3/4, √3/4, 1/2], [3/4, √3/4, –1/2], [3/4, – √3/4, –1/2],
q4.q3.q2.q1=[3/4i – √3/4j –1/2k].[3/4i +√3/4j –1/2k].[3/4i + √3/4j +1/2k].[3/4i – √3/4j + 1/2k]
Produit non commutatif avec i.j=k= - j. i, j.k=i=-k.j, k.i=j=-i.k, i²=j²=k²= – 1 .
[3/4i + √3/4j +1/2k].[3/4i – √3/4j +1/2k]= -9/16+3/16-1/4+ √3/4i -3√3/8k = -5/8+√3/4i - 3√3/8k [3/4i +√3/4j –1/2k].[ -5/8+√3/4i - 3√3/8k]= -3√3/8 – 3/4i +1/8k
[3/4i – √3/4j –1/2k].[-3√3/8 – 3/4i +1/8k] = 5/8 – 5√3/16i +9/16j = 5/8 – [5/(2√13) i – 3√3/(2√13) j ].√39 /8
(5/8, √39 /8) = (cos(α/2) , sin(α/2) ) permettrait de calculer l'angle α de la rotation.
De ( 5/(2√13) , – 3√3/(2√13), 0) on déduit les coordonnées géographiques de S1 : (0°N, 46,10°O) Pour trouver S2 : S2 = 2(M1.S1).M1– S1 = (6/√13).[3/4, -√3/4, 1/2] – [ 5/(2√13) , – 3√3/(2√13), 0]
S2 = [2/√13, 0, 3/√13] dont les coordonnées géographiques sont : ( 56,31°N, 0°E) .
Le quadrilatère sphérique est symétrique par rapport au plan équatorial et au plan méridien zéro.
S1 S2 S3 S4
0° N, 46,10°O 56,31° N, 0° E, 0° N, 46,10°E 0° E, 56,31° S Sans oublier un autre quadrilatère sphérique symétrique par rapport au centre de la sphère .
Remarques : Le quadrilatère M1M2M3M4 n'est pas un carré car les côtés M1M4 et M2M3 ont pour mesure 60° tandis que les côtés M1M2et M3M4 ont pour mesure arccos(cos²30°cos60°+sin²30°) = arccos(5/8) ≈ 51,32°. Au contraire S1S2S3S4 est un carré car les 4 côtés ont la même mesure : arccos(S1.S2) = arccos (5/13) ≈ 67,38°.
2ème quadrilatère : M1M2 sont dans le plan équatorial, M3M4 sont dans le méridien origine.
Profitons de ces particularités .
Je nomme T1,T2,T3,T4 les demi tours d'axes OM1,OM2,OM3,OM4 (O=centre de la sphère).
Je garde le même repère Oy vers l'est, Oz vers le nord, Ox vers le point 0°E 0°N . On cherche l'axe de la rotation T4.T3.T2.T1 .
T2.T1 est la rotation de 2*angle (OM1,OM2 ) = 120° autour de Oz On lui associe q2.q1 = 1/2 + √3/2 k
T2.T1 = (½ tour d'axe D).(½ tour d'axe Ox))
T4.T3 est la rotation de 2*angle (OM3,OM4 ) = 120° autour de Oy On lui associe q4.q3 = 1/2 + √3/2 j
(q4.q3).(q2.q1)= (1/2 + √3/2 j)(1/2 + √3/2 k) = (1/4) + (3/4)i +( √3/4)j +(√3/4 )k q4.q3 .q2.q1 = 1/4 + (√15/4) . [(√15/5)i+ (√5/5)j+ (√5/5)k]
(1/4, √15/4) = (cos(α/2) , sin(α/2) ) permettrait de calculer l'angle α de la rotation.
De (√15/5, √5/5, √5/5 ) = (cosφ .cosθ, cosφ .sinθ, sinφ ) φ=latitude θ=longitude on déduit les coordonnées géographiques de S1 : (26,565°N, 30°E ).
S2, S3, S4 s'obtiennent par S2 = 2(M1.S1).M1– S1, S3 = 2(M2.S2).M2– S2 , S4 = 2(M3.S3).M3– S3 .
S1 S2 S3 S4
[√15/5, √5/5, √5/5] [0, -2√5/5, -√5/5] [-√15/5, √5/5, √5/5] [0, -√5/5, -2√5/5]
(26,565°N, 30°E ) (26,565°S, 90°O) (26,565°N, 150°E) (63,435°S, 90°O) Sans oublier un autre quadrilatère sphérique symétrique par rapport au centre de la sphère .
Annexe : Formule du produit de deux quaternions :
