A355 – Palindromes multi-bases [** à main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q₁: montrer qu'il existe une infinité de nombres dont l'expression est un palindrome dans 2 bases de numération différentes, et donner une méthode simple de construction de ces nombres.
Q₂: il existe 2 nombres compris entre 100 et 1000 qui sont des palindromes en base 10 et dans 3 autres bases plus petites que 10. Pouvez-vous les trouver sans recourir à un ordinateur?
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ : On choisit une base b telle que b est un carré parfait k².Dès lors le nombre palindrome constitué de n chiffres 1 consécutifs en base k² soit 11.(n fois le chiffre 1 au total) ..11 vaut k2(n- 1) + k2(n – 2) + ...+ k² + 1 en base 10 qui n’est autre que l’écriture en base k de l’entier constitué de 2n – 1 chiffres dans lequel alternent les 1 et les 0 :1010...(2n – 1 chiffres au total).. 0101 qui est aussi un palindrome.
En effet k2(n- 1) + k2(n – 2) + ...+ k² + 1 = 1.k2n-2 + 0.k2n-3 + 1.k2n – 4 +0.22n – 5 +....+1.k² + 0.k + 1 Q₂ On calcule pour tout couple (b,10) ,b entier compris entre 2 et 9, les entiers à 3 chiffres qui sont palindromes à la fois en base 10 et en base b.
Par exemple avec b = 9, on cherche x et y entiers ≤ 9 tels que 9²x + 9y + x = 82 x + 9y est un palindrome à 3 chiffres en base 10.
Si x = 2, alors il existe une seule solution avec y = 3, soit (232)₉ = (191)₁₀.
Si x = 3, alors y = 4, soit (343)₉ = (282)₁₀.
Si x = 4, alors y = 5, soit (454)₉ = (373)₁₀ etc....
D’où le tableau ci-après qui reprend en colonne pour chaque valeur de b = 2,3,..,9 les entiers à 3 chiffres exprimés en base 10 qui sont palindromes en base b et en base 10.
La confrontation des entiers de ce tableau fait apparaître que les entiers 121 et 373 ont les propriétés requises d’être des palindromes dans 4 bases distinctes ≤ 10, incluant la base 10 : (121)₁₀ = (171)₈ = (232)₇ = (11111)₃ et (373)₁₀ = (454)₉ = (565)₈ = (11311)₄.
