A348 – Dociles et rebelles
Un nombre entier N positif est appelé "docile" si l’on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, l’entier N est dit "rebelle". Par exemple, l’entier 11 est docile car 10 + 1 = 11 tandis que l’entier 10 est rebelle.
Q₁ Prouver que l’entier 2014 est docile de multiples façons : 1) b est à 1 chiffre,
2) b est à 2 chiffres, 3) b est à 3 chiffres,
4) a et b sont des nombres premiers,
5) les chiffres de a et de b sont tous différents.
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers rebelles.
Q₃ Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20. En existe-t-il plus de 9 ? Ébauche de solution par Patrick Gordon
Q1
1) 2006 et 8 2) 1916 et 98 3) 1214 et 800 4) 1511 et 503 5) 1538 et 476 Q2
Toutes les puissances impaires de 10 diminuées de 1, soit 999…9 (n "9", n impair) sont rebelles.
Soit en effet le nombre à n chiffres N = 10n – 1, dont on soustrait le nombre P à n chiffres ab…yz et soit P' = a'b'…y'z' le reste de la soustraction.
On a :
z' = 9 – z y' = 9 – y x' = 9 – x
…
a' = 9 – a.
D'où :
a'+b'+…+y'+z' = 9n – (a+b+…+y+z)
Si les sommes des chiffres de P et P' sont égales, elles sont égales à 9n/2. Avec n impair, ce n'est pas possible.
Il existe donc bien une infinité d’entiers rebelles.
Q3
Entre 20 et 100, on trouve 8 entiers rebelles pairs : 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98, 100.
