E584 – Trois par trois [**** à la main et avec l’aide éventuelle d’un ordinateur]
Problème proposé par Michel Lafond
Q₁ - Trouver tous les ensembles composés de 6 nombres entiers strictement positifs tels que les 20 sommes obtenues en ajoutant de toutes les manières possibles trois de ces nombres, une fois classées par valeurs croissantes, donnent la liste
[8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, …].
Q₂ - Même question avec des ensembles composés de 6 nombres entiers.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Q1- Les trois plus petits termes de somme 8 d’un sextuplet ,formé de six entiers positifs distincts, sont (1,2,5) ou (1,3,4) :
-si (1,2,5) : pour former la somme 9, il faut ajouter un 6. Mais à (1,2,5,6) on ne peut ajouter ni 7 (car alors 13 = 7 + 5 + 1 = 6 + 5 + 2), ni 8 (car 8 + 1 + 2 = 11, valeur interdite), ni 9 ni aucun entier supérieur (car alors le total 10 est irréalisable). Donc le trio (1,2,5) est impossible.
-donc les trois plus petits termes ne peuvent être que (1,3,4) : le terme suivant est 5, pour permettre le total 9 = 1 + 3 + 5. Le terme suivant n’est ni 6 (1 + 4 + 6 = 11), ni 7 (1 + 3 + 7 = 11), ni 8 (car 1 + 3 + 8 = 3 + 4 + 5 = 12). Mais 9 convient, complété par 14 comme sixième nombre : avec le sextuplet unique (1,3,4,5,9,14), on forme en effet
8(1,3,4), 9(1,3,5), 10(1,4,5), 12(3,4,5), 13(1,3,9), 14(1,4,9), 15(1,5,9), 16(3,4,9), 17(3,5,9) , tous de façon unique, et 18(4,5,9) et (1,3,14) de 2 façons.
Q2- Si des entiers négatifs sont admis, quelques essais à la main avec − 1 et − 2 conduisent, avec une méthode analogue à celle utilisée ci-dessus pour résoudre Q1, à trois sextuplets répondant aux exigences :
(−1,3,6,7,8,13) (−1,4,5,6,9,13) et (−2,3,7,8,9,11).
N.B. Il reste à prouver qu’aucun autre sextuplet ne convient.
