Fiche1 : Différents ensembles de nombres. Seconde1.Les entiers naturels est l'ensemble des entiers naturels : = {ℕℕ

Fiche1 : Différents ensembles de nombres. Seconde

1. Les entiers naturels

est l'ensemble des entiers naturels : = { ℕ ℕ 0;1;2;3; ...;122;123;....;2547;2548;....}

C'est un ensemble infini. Chaque entier naturel n comporte un successeur n+1.

Parmi les entiers naturels, certains nombres sont étudiés pour leurs curiosités. En particulier, les nombres premiers.

Exemples

Exemples: ► n=24 . Ses diviseurs sont : ...

Ce nombre possède ... diviseurs donc 24 ...

► n=53 . Diviseurs : ... Conclusion :...

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 2 3 5 7 11 13 17 19

Critères de divisibilité

: Un entier est divisible par 2 (on dit aussi qu'il est pair) si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.

: Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.

: Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4.

: Un entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5.

: Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.

: Un entier est divisible par 10 si le chiffre de ses unités est 0.

2. Les entiers relatifs

La nécessité des entiers relatifs s'est faite sentir à partir du moment où l'on a voulu résoudre des équations du type : ^x11=8 Cette équation n'a pas de solution dans ℕ, en effet 8 – 11 n'est pas un entier naturel.

On introduit un ensemble plus grand noté = {... ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ....} ℤ A la différence de , l'ensemble n'admet pas de plus petit élément. ℕ ℤ

Remarque : contient , ce qui signifie que tout entier naturel est un entier relatif. ℤ ℕ

3. Nombres rationnels et nombres décimaux L'équation 4 x1= 2 a-t-elle une solution dans ? ℤ

Les décimaux sont les nombres qui peuvent donner des entiers lorsqu'on les multiplie par une puissance de 10.

Autrement dit, les nombres décimaux sont ceux qui n'ont qu'un nombre fini de décimales.

2010©My Maths Space Page 1/2 Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel qui possède exactement

deux diviseurs 1 et lui-même.

par 2

par 3 par 4

par 5

par 9

par 10

Fiche1 : Différents ensembles de nombres. Seconde

Conséquence : Un nombre qui a une écriture décimale avec une infinité de décimales n'est pas un nombre décimal.

Exercice : 4199

850 est-il décimal ? Même question avec 1001 165 .

D

éfinition : On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire a

b où a ∈ℤ et b ∈ℕ * L'ensemble des rationnels est noté . ( un rationnel est une fraction d'entiers ) ℚ

Exemples et contre-exemples :

► ► 0,2008200820082008... (2008 se répétant dans l'écriture décimale) est donc un rationnel.

► 0,23571113171923... ( fabriqué à partir des nombres premiers ) n'admet pas de période donc il n'est pas rationnel. On dit qu'il est irrationnel.

Conséquence : Un nombre irrationnel qui a une écriture décimale illimité mais non périodique ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fractions d'entiers.

4. Nombres réels

Tous les nombres vus jusqu'à présent ne permettent pas de résoudre toutes les équations.

Si l'on considère : x

= 3 cette équation n'a pas de nombre rationnel solution. Nécessité d'un ensemble de nombres encore plus grand..

A tout point de la droite correspond un unique réel appelé abscisse du point.

A tout nombre réel correspond un unique point de la droite.

L'ensemble des nombre réels est noté . ℝ

En résumé, on obtient les inclusions suivantes.

ID ( inclusions strictes ) ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Déterminer la nature d'un nombre, c'est trouver le plus grand ensemble dans lequel il se trouve.

2010©My Maths Space Page 2/2 Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est périodique.

( à partir d'un certain rang )

Définition : On appelle nombre réels tous les nombres représentés sur une droite graduée .