E584 – Trois par trois [**** à la main et avec l’aide éventuelle d’un ordinateur]
Problème proposé par Michel Lafond
Q₁ - Trouver tous les ensembles composés de 6 nombres entiers strictement positifs tels que les 20 sommes obtenues en ajoutant de toutes les manières possibles trois de ces nombres, une fois classées par valeurs croissantes, donnent la liste [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, …].
Q₂ - Même question avec des ensembles composés de 6 nombres entiers.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Q1 :
Les 6 nombres entiers sont forcément distincts .
En examinant les 11 termes de la liste , on constate au moins 3 choses : a) A l'exception de 11 , les nombres de 8 à 18 sont tous présents . b) le nombre 18 est dupliqué .
c) 8 est la plus petite somme .
Les 9 premières sommes sont distinctes et les 2 suivantes sont identiques . Par conséquent 18 est sommé deux fois par 2 triplets complémentaires .
La somme des 6 termes vaut donc 36 et les 9 sommes manquantes sont uniques et complémentaires à 36 des nombres 8 , 9 , 10 .... 17
Le nombre 8 est forcément sommé avec les 3 plus petits nombres et 28 est sommé avec les 3 derniers . Il y a 2 façons de sommer 3 nombres différents pour S = 8
1) 8 = 1 + 2 + 5 : dans ce cas le nombre 9 est obtenu avec 1 + 3 + 5 mais 1 + 2 + 3 = 6 est interdit , mais aussi avec 1 + 2 + 6
dans ce cas les 4 nombres 1 , 2 , 5 , 6 ne peuvent sommer S = 10 et 7 serait le cinquième terme pour 10 = 1 + 2 + 7 ; le nombre S = 1 + 6 + 7 = 2 + 5 + 7 = 14
est dupliqué . On abandonne ce cas .
2) 8 = 1 + 3 + 4 : dans ce cas le nombre 9 ne peut être obtenu qu'avec 1 + 3 + 5 et non 2 + 3 + 4 puisque 1 + 2 + 3 = 6 est interdit .
d'où les 4 premiers termes ( 1 , 3 , 4 , 5 ) donnant les premières sommes : 8 , 9 , 10 & 12
Pour obtenir 13 on abandonne 6 ( 10 est dupliqué et 11 est interdit ) ; on abandonne 7 car 11 = 1 + 3 + 7 est interdit .
On abandonne aussi 8 car 12 = 1 + 3 + 8 = 3 + 4 + 5 serait dupliqué .
9 est donc le cinquième terme du quintuplet ( 1 , 3 , 4 , 5 , 9 ) pour sommer 13 = 1 + 3 + 9 , 14 = 1 + 4 + 9 , 15 = 1 + 5 + 9 , 16 = 3 + 4 + 9 , 17 = 3 + 5 + 9 , 18 = 4 + 5 + 9
Avec ces 5 nombres nous obtenons 10 triplets dont les sommes sont toutes distinctes et égales aux 10 premiers nombres de la liste . Il ne peut donc y avoir de duplicata
Maintenant , pour ne dupliquer que la somme S = 18 il nous faut obtenir 1 + 3 + n = 18 . Et n = 14 est le seul terme possible
D'où l'unicité de cet ensemble : ( 1 , 3 , 4 , 5 , 9 , 14 ) et la liste complétée .
[ 8 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 26 , 27 , 28 ]. La somme des 20 termes vaut 10 x ( 1+3+4+5+9+14) = 360
Cette liste est unique . Les deux nombres 11 et 25 ne peuvent pas exister .
Q2 : Dans les entiers relatifs , si un terme est nul , alors 0 sera sommé à 10 binômes . 1) zéro est le premier terme : 8 étant la somme mini .
a) 8 = 0 + 2 + 6 ---> ( 0 , 2 , 6 , 7 , 8 ) ---> 8 , 9 , 10 , 13 , 14 , 15 , 15 ... ( 15 est dupliqué )
b) 8 = 0 + 1 + 7 ---> ( 0 , 1 , 7 , 8 , 9 ) ---> 12 , 13 & 14 sont inexistants . c) 8 = 0 + 3 + 5 ---> ( 0 , 3 , 5 , 6 , 7 ) ---> 11 = 0 + 5 + 6 n'est pas bienvenu .
Zéro est donc absent et ne peut encore moins être le second terme . 2) -1 est le premier terme : <
a) 8 = -1 + 1 + 8 ---> ( -1 , 1 , 8 , 9 , 10 ) ---> 12 , 13 , 14 & 15 sont inexistants quelque soit le sixième terme > 10.
b) 8 = -1 + 2 + 7 ---> ( -1 , 2 , 7 , 8 , 9 , 12 ) ---> 8 , 9 , 10 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 18 , 19 .... ( 12 est absent )
( - 1 , 2 , 7 , 8 , 9 , 11 ) ---> 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , ... ( 13 est absent )
c) 8 = -1 + 3 + 6 ---> ( -1 , 3 , 6 , 7 , 8 , 13 ) ---> 8 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 26 , 27 , 28
S = 10 x ( -1 + 3 + 6 + 7 + 8 + 13 ) = 10 x 36 = 360 .
d) 8 = -1 + 4 + 5 ---> ( -1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 13 ) ---> 8 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 26 , 27 , 28
3) -2 est le premier terme : alors si 8 = -2 + 1 + 9 , alors au minimum 10 + 11 + 12 = 33 (on oublie) si 8 = -2 + 2 + 8 , au minimum 9 + 10 + 11 = 30 . (on oublie) si 8 = -2 + 3 + 7 , au minimum 8 + 9 + 10 = 27 , il n'y aurait dans ce cas qu'un triplet possible : 8 + 9 + 11 = 28
et le sextuplet ( -2 , 3 , 7 , 8 , 9 , 11 ) est solution .
si 8 = -2 + 4 + 6 , alors 7 et 8 sont les 2 termes suivants pour sommer 9 & 10 , le sixième est donc 28 - 7 - 8 = 13 .
et le sextuplet : ( -2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 13 ) . Mais -2 + 6 + 7 = 11 est interdit .
4) -3 est le premier terme , alors :
a) -3 + 4 + 7 = 8 et 8 , 9 & 11 sont les suivants avec le sextuplet : (-3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 11 ) . Mais -3 doit nécessairement
intervenir une fois pour sommer 18 . Or -3 + 9 + 11 = 17 . Ce sextuplet n'ai pas solution . b) - 3 + 5 + 6 = 8 et 7 est le quatrième terme . ( -3 , 5 , 6 , 7 , n , 21-n )
si n = 8 : 11 = -3 + 6 + 8 = 11 (interdit)
si n = 9 : 21 - 9 = 12 avec ( -3 , 5 , 6 , 7 , 9 , 12 ) et -3 + 5 + 9 = 11 (interdit)
si n = 10 : 21 - 10 = 11 avec ( -3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 11 ) et 14 est dupliqué avec -3 + 7 + 10 = -3 + 6 + 11 (interdit)
5) Le premier terme ne peut pas être inférieur à -3 . En effet :
-4 + 5 + 7 = 8 . Dans ce cas , 7 est la plus petite valeur possible pour générer le triplet sommant 28 = 8 + 9 + 11 .
Et dans ce cas le seul et unique sextuplet est : ( -4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 ) ; et 11 = -4 + 7 + 8 est interdit . Il n'y aurait donc que 3 solutions avec un premier terme négatif
( -1 , 3 , 6 , 7 , 8 , 13 ) ; ( -1 , 4 , 5 , 6 , 9 , 13 ) ; ( -2 , 3 , 7 , 8 , 9 , 11 ) sauf erreur .
