Solution proposée par Gaston ParrourQ1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019. Un nombre n = p1

A382. Achille est fort

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n,c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n,un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n)=φ(φ(n)),… …,φ(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.

Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.

Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

Solution proposée par Gaston Parrour

Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Un nombre n = p1^a p2^b p3^c … où on peut supposer p1 < p2 < p3 < … est nombre d'Achille si les conditions [C] suivantes sont satisfaites

Inf (a,b,c, …) ≥ 2

PGCD (a,b,c, …) = 1 (n n'est pas une puissance parfaite) [C]

De plus ici n ≤ 2019 (1)

→ On procède en considérant les nombres n formés de 2 nombres premiers, puis de 3 nombres premiers, etc ...

1 – avec deux nombres premiers constitutifs

Les nombres n qui satisfont à [C ] et (1) commençant par 2² : 2²3³ 2²3⁵ 2²5³ 2²7³

'' par 2³ : 2³3² 2³3⁴ 2³3⁵ 2³5² 2³7² 2³11² 2³13² '' par 2⁴ : 2⁴3³ 2⁴5³

'' par 2⁵ : 2⁵3² 2⁵3³ 2⁵5² 2⁵7²

'' par 2⁶ : aucun ne satisfait à PGCD (a,b) = 1 '' par 2⁷ : 2⁷3²

commençant par 3² : 3²5³ '' par 3³ : 3³5² 3³7²

N.B. Les séries commençant par ''5²'' et au delà donnent des candidats plus grands que 2019 2 – Avec 3 nombres premiers constitutifs

Le plus petit d'entre eux est n = 2³3²5² = 1 800 Ce nombre est nombre d'Achille → C'est le seul nombre de ce typqui soit inférieur à 2020 et soit nombre d'Achille

==> Les nombres d'Achille n ≤ 2019 figurent en rouge ci-dessus

Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré et inférieurs ou égaux à 2019.

Ces nombres d'Achille n sont tels que phi(n) remplit les conditions [C] et ces nombres vérifient (1) ==> Il faut donc examiner phi(n) pour les nombres retenus en Q1

La fonction phi étant multiplicative :

phi(n)=p1^ap2^bp3^c …) = n . (p1-1)/p1 . (p2-1)/p2 . (p3-1)/p3 …

Les nombres retenus en Q1 sont de la forme n = 2^a.3^b n = 2^a.5^b n = 2^a.7^b ou bien n = 3^a.5^b n = 3^a.7^b

nombres n =2^a .3 ^b

phi(2^a3^b) = 2^a3^b . (1 /2 ) . (2/3) = 2^a . 3^(b-1)

puisque on a déjà 2 ≤ a, ce nombre satisfait aux conditions [C] si 3 ≤ b et [a, (b-1)] = 1

Avec cela

→ A partir de Q1 on retient 2³3⁵ 2⁵3³ nombres n = 2 . 5 ^{a b}

phi(2^a5^b) = 2^a5^b . ( 1/2) . (4/5) = 2(a+1) . 5 (b-1) puisque 2≤a , ce nombre est nombre d'Achille pour 3 ≤ b et [(a+1), (b-1)] = 1

→ A partir de Q1 on retient 2²5³ 2⁴5³

nombres de Q1 commençant par 3² ou 3 ³

phi(3².5³) = 2³.3.5² la puissance de ''3'' est inférieure à 2 phi(3³.5²) = 2³.3².5 '' ''5'' est inférieure à 2 phi(3³.7²) = 2².3³.7 '' ''7'' est inférieure à 2

→ Parmi les nombres d'Achille retenus en Q1 ( ≤ 2019) les nombres suivants sont forts au premier degré ==> 2³.3⁵ 2⁵.3³ 2²5³ 2⁴5³

Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré et qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷ . Les nombres n phi1=phi(n) phi2=phi(phi1) phi3=phi(phi2) sont donc nombres d'Achille → Ils satisfont chacun aux conditions [C] ci-dessus et la condition (1) est remplacée par

n ≤ 10⁷ (2) A/ Méthode suivie :

Considérer successivement les nombres n formés de 2 nombres premiers, 3 nombres premiers, etc …

Pour chaque cas déterminer ceux qui remplissent les conditions ci-dessus En commençant par exemple avec

1- n avec 2 nombres premiers n = p1^a.p2^b (p1 < p2) * Pour un choix de p1 (en commençant avec p1 = 2)

(a) → Déterminer le plus grand nombre premier p2 possible , p2max Notons que phi(n) = n . (p1-1)/p1 . (p2-1)/p2 Donc

- l'exposant b de p2 décroit d'une unité → pour que phi3 soit nombre d'Achille 5 ≤ b - la valeur la plus faible de l'exposant de p1, amin , dépend quant à elle de (p2-1)

il se peut que amin = 5 (pour la même raison que bmin = 5) , mais aussi que amin = 2.

Avec cela p2max est déterminé par → p1^amin .p2max⁵ ≤ 10⁷

(b) → Balayage en p2 Pour tout p1 < p2 ≤ p2max :

- rechercher bmax tel que p1^amin . p2^bmax≤ 10⁷ (lorsque p2=p2max , bmax = bmin = 5) - vérifier alors si pour chaque n = p1^a' . p2^b' , avec 2 ≤ a' et 5 ≤ b' ≤ bmax ,

les condition [C] et (2) sont remplies à la fois pour n , phi1 , phi2 , phi3 * Reprendre alors les étapes (a) et (b) avec un nouveau choix p1' de p1 ( p1 < p1' )

2- n avec 3 nombres premiers constitutifs n = p1^a.p2^b.p3^c Avec ce qui précède :

(a) → le plus grand p3 possible est déterminé avec c = 5 → p1².p2².p3max⁵ ≤ 10⁷

Avec p1=2 et p2=3 ( les plus petits possible) , on a ainsi p3max ≤ 12,26 … p3 max = 11

(b) → balayage en p3 ( avec 3 < p3) , p3 = { 5 7 11}

Pour chacun de ces p3

- déterminer cmax (pour p3 = 11 cmax = cmin = 5) par 2 ² .3 ² .p3 ^cmax 10≤ ⁷ et pour chaque 5 ≤ c ≤ cmax , former tous les nombres

n = 2^a.3^b.p3^c vérifiant (2)

vérifier alors si on obtient des nombres d'Achille pour n phi1 phi2 phi3 - ensuite déterminer un nouveau cmax' par 2 ².5 ² .p3 ^cmax' ≤ 10 ⁷

et pour chaque 5 ≤ c ≤ cmax' , procéder comme ci-dessus . - poursuivre en déterminant cmax'' par 3 ² .5 ² .p3 ^cmax'' ≤ 10 ⁷ etc ...

Remarque : compte tenu de la faible valeur de p3max = 11 (pour le cas p1 =2 et p2 =3) , le nombre d'itérations comme celles décrites ci-dessus est nécessairement très petit.

B/ Les résultats

A partir de la méthode décrite ci-dessus : 1- nombre n constitué de 2 nombres premiers

→ Nombres n = 2^a .p2 ^b qui sont nombres d'Achille jusqu'à phi3 (a) p2max ?

2².p2max⁵ ≤ 10⁷ → p2max = 19

Mais phi1=phi(n) = 2².19⁴.3² pur carré n'est pas nombre d'Achille (b) balayage sur 2 < p2 < 19

les nombres suivants satisfont à [C] jusqu'au degré 3 et à l'inégalité (2) ci-dessus : 17⁵2²

5⁹2² 5⁸2³ 5⁷2⁴ 5⁷2⁶ 5⁶2⁵ 5⁶2⁷ 5⁵2² 5⁵2⁶ 5⁵2⁸ 3⁹2⁵ 3⁷2¹¹ 3⁶2⁷ 3⁶2¹¹ 3⁶2¹³ 352⁷ 3⁵2¹¹ 3⁵2¹³ → Nombres n = 3^a .p2 ^b qui sont nombres d'Achille jusqu'à phi3 (a) p2max ?

3².p2max⁵ ≤ 10⁷ → p2max = 13 (b) balayage sur 3 < p2 ≤ 13

→ les nombres suivants satisfont à [C] jusqu'au degré 3 et à l'inégalité (2) ci-dessus : 13⁵3²

5⁶3⁵ 5⁵3⁶ 5⁷3⁷ → Nombres n = 5^a .p2 ^b

Avec a=2 phi(n) = n.(4/5).(p2-1)/p2 nombre d'Achille si (p2-1) est multiple de 5 (a) p2max ?

5².p2max⁵ ≤ 107 → p2max =13 (b) balayage sur 5 < p2 ≤ 13

→ le nombre suivant satisfait à [C] jusqu'au degré 3 et à l'inégalité (2) 5²11⁵

D'autre part a =5 ne peut être retenu car alors p2max = 5 et n = 5⁵.5⁵ n'est pas nombre d'Achille.

==> Fin de nombres constitués de 2 nombres premiers 2- nombre n constitué de 3 nombres premiers

→ Nombres n = 2 .3^{a b} .p3 ^c qui sont nombres d'Achille jusqu'à phi3 (a) p3max ?

2².3²p3max⁵ ≤ 10⁷ → p3max = 11 (b) balayage sur 3 < p3 ≤ 11

→ les nombres suivants satisfont à [C] jusqu'au degré 3 et à l'inégalité (2) ci-dessus :

7⁶3²2³ 7⁵3²2² 7⁵3²2⁴ 7⁵3²2⁶ 7⁵3³2² 7⁵3³2³ 7⁵3⁴2²

5⁵3⁵2³ 5⁵3⁶2²

→ Nombres n = 2a.5b.p3c qui sont nombres d'Achille jusqu'à phi3

Avec b = 2 ou avec b= 5 , aucune solution p3max pour 2².5^b.p3max⁵ ≤ 10⁷ n'est acceptable : soit parce que phi(n) n'est pas nombre d'Achille, soit parce que p3max < 5

==> Fin des nombres constitués de 3 nombres premiers 3- nombre n constitué de 4 nombres premiers

→ Nombres n = 2 .3^{a b} .p3 ^c .p4 ^d qui sont nombres d'Achille jusqu'à phi3 On vérifie directement :

''p4max'' donné par 2².3².5².p4max⁵ ≤ 10⁷ conduit à p4max ≤ 6,44...

Cela ramène à 2².3².5⁷ nombre à 3 nombres premiers constitutifs (cas déjà examiné).

==> Aucun nombre n avec 4 nombres premiers constitutifs ne peut être retenu.

En conclusion

==> Les nombres ≤ 10⁷ , nombres d'Achille jusqu'au degré 3 sont les nombres ci-dessus notés en rouge