Solution de la question 1570, proposée par M. Rouché

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

W ^ORONTZOFF

Solution de la question 1570, proposée par M. Rouché

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 8 (1889), p. 143-149

<

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(2)

SOLUTION DE LA QUESTION 1370, PROPOSÉE PAR M. ROliCIIÉ;

PAR M. WORONTZOFF.

/Liant donnée la relation

— y)— m

(3)

( ' 4 4 )

dans laquelle m désigne un nombre donné dont la valeur absolue est inférieure à i , développer y en série suivant les puissances croissantes de m, et indiquer la forme du reste lorsqu'on ne prend qu'un nombre limité de termes ().*

De Féquation donnée

sin (a? —y)= ni sin (a? -\-y)= m sin [2 a? —(x — y)], on déduit

y = arc tang [ ( 7 ^ ™ ) tang J ,*

/ m sin 2 * \ x — y = arc tang •

V' I - h 1)1 COS7..T /

Comme -y

= x

-

a r c

tan

[ ni sin ix \

= arc tang ) i -+- ni cos (ix/

= —. i log[i -4-//i(cos2ir-hï sin 2 J-)] — log[i + m (cos 2a? — *'*hvj».

(£=•="1) et

T^n ( wisinaa- \ ü " are tang (

x

a t 7

( c o s i x -r i sin2a~)^fl

[i -+- //? (cos2a^% H- i sin2a^r*)]^/* [i -f- m (cos2.r — i sin 2a? )]^/f ( 1 -4^2 /n

r . n .

X sin2/ia? -1 m sni2(/i —

r .

sin2/

^ ( n — 1) _ . . N n , . 1

_1 i . ni-sin2(7i — ?.)x -+-...H m»-1 sin ?.r ,

(') I\ouve11cs AttUftlcs de Watiiematiques, p. 5o^, novonibro i<SS-.

(4)

T.„ I m sin 2.r \~|

D

"

a r r l a n

H 7 ^

^c

^ ^

au moyen de la série de Maclaurhi, prise avec le terme complémentaire (//«) de Cauchy, on trouve

y — x — m sin <xx

/>?2

h />? - — — / / i

s i n 2 ( ; i — \).r

-'-(— I ) « - 1 Wî«-1 — - — 1 - -r- II,, (1),

ou

- ( - i ) " m " f i — 0 ) » - * ( i — Ï 0 ni c o s 'ix -r- 02 ni2 )'l

X sin > / i . r -T- ^ 0 /?? sin 'x {?i — \)x

En p o s a n t e'u — p et e *" — 7 , on a g é n é r a l e m e n t

— <ï>(m) — / ( o ) + m co? af' (0)

5

1 . 2 . 0 . . . ( / ? — 1 )

^ / / „ „

Afathétnat., 3e série, t. VIII (Mars 1889).

~i[f{pm)-f{qm)}

= *t ( / ? ? ) = /?i s i n « ƒ ' ( 0 )

^ / ^ ' / (/? ~ 0 ^ / " ' ' (o)

(5)

Cette série peut être obtenue aussi à l'aide des formules F*

=-. F(ar)

O U

- - i ~ ./(-=)

D

/•) — o ,

(n) )

F [*( = 1 |

et, pour x :

--- F ( y )

k.- n—l

: - )

i . >.. 3 . . . ( n — i )

y—fv[m)

T "K/l)

} 0 , ( w ) = 0 , / ( r>) - - O < 0 < I , O < 01< I , O < 02< I J,

(v) .XOKVCIII'S innales de Mathématiques, p. 36-Î ; août i8SS.

(6)

( « 4 7 ) En prenant

on a

f(x)=o, r=f

v

(o)=ar

1

7'(7> '

:

> \y

sin2(\r — y ) *\n'i( x — tr)

L_—_ ! _ _ 3

[

^{i ^ 1}^{[ n )}^{s i n}^{/ ?}( . r — y ) s i n / ,

( l / T F ) 'J ^ U/-=r

^{= (}

"

^I)n

'

¹

'

⁹

'"

³

' "

^U

~

'i(ar-r- y)

f(y)

sin [ix -1- 0 ( y — x )] sin (y — . r ) — sinO( y — x ) sin f 9.x — (jK — sin 2.r[ sin ( y - .r) cos6( ^ — x) — cos (y — x) sin G (y — x)]

sin[2a?-i-0(jK — x)\ s\n{y — x) sin2^rsin[(i — 0) (y — x)\

sin[9.x-- 6(y — x)] sin (y — x)

Par conséquent, d'après la formule (3 ),

k - n — 1

k = 1

= fu( m ) = arc tang ( - J tan«».r ,

(7)

ou

h - (-- i )''m» s i n" l *•'• -

=_ (•— i)nmn

Sin"'Jt.27

[ y —a")lsin( V — x)— sin 0( y — ;r)sin( v — x) }n

^()Tlî: DE AI. ROUCHÉ.

En môme temps que M. Worontzof, MM. Darmanine et A11- dibert nous ont envoyé des solutions de la question 1570. La solution de M. Darmanine ne diffère pas au fond de celle de M. Worontzof, et celle de M. Audibert est une application du théorème de Maclaurin.

Quand nous avons proposé ce problème, nous avions en vue la solution suivante, qui est à la fois simple et directe :

La relation

<in (.r — y ) = m sin (.r -+- y ) peut s'écrire

x - y ~ arc i H- m cos->x Posons

c-( w) = are 1

I — U COS\>J

nous» aurons

<?'(«) =

ut cos'2.r -}- u2

(8)

ou, en effectuant la division,

<p'(M) = sin 2^7— usin^x -{- u'2 sin6vT — . . . (

t — i)r

Or, si l'on désigne par R le nombre défini par la relation

^ (ni) = —smix sin4^H ^

\

on voit que la fonction

sin > x -\ M 114^7 r-

— \)x — R — ( ) ( ) R

n — 1 n s'annule pour u — m aus^i bien que pour u = o. Sa dcri\ée

v'(u) — sin y x — u sin 4^ — u2 sin6x —. . .

— (— i)'*-1 u'1-1 sin >(/? — i).r — Ruu l, qui, en \ e r t u de (1;, se réduit à

I -r- 2 « COÎ5 2.T H- U2 J

doit donc s'annuler pour une valeur de u comprise entre o et 7/i, c'est-à-dire pour u = ô/n, 6 étant un nombre convenable- ment choisi entre o et 1. On a donc

sin y n r - - 6 m si\\o(n — 1 )x

fi —-- / j \ n — l

1 — i § m cos/>x -h Ô²/;i² et, p a r suite, en p o r t a n t d a n s ('>),

/?? . 7?z2 . . 7??J . c

y — x sin'2x H s i n 4 ^ ~ hin6x —. . ,

JYln — ^

— (— l)n~l ( ^(

n — 1 ni11 sminx H-

n i-26m

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