A337. Résilience
On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n.
Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)]
(n) = 1.
Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1
Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2
Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: trouver un entier n₁ à trois chiffres tel que r(n₁) = 10 et un entier n₂ à cinq chiffres tel que r(n₂) = 17.
Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: k = 12
SOLUTION
Question Q1
r(2016)=9 φ(2016) = 576 φ(576) = 192 φ(192) = 64 φ(64) = 32 φ(32) = 16 φ(16) = 8 φ(8) = 4 φ(4) = 2 φ(2) = 1.φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ (φ(2016))))))))) = 1 r(2016) + 2 = 11
Le plus petit n>2016 tel que r(n)=11 est 2023.
φ(2023) = 1632 ; φ(576) = 512 ; φ(512) = 256 ; φ(256) = 128 ; φ(128) = 64 ; φ(64) = 32 φ(32) = 16 ; φ(16) = 8 ; φ(8) = 4 ; φ(4) = 2 ; φ(2) = 1.
φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(2023))))))))) = 1
Question Q2
Notons que
φ(2*m) = φ(m) si m est impair et φ(2*m) =2* φ(m) si m est pair.
Comme φ(2)=1 nous avons φ(2
n) = 2
n-1.
Si m est pair, comme φ (2) = 1 nous aurons r(2*m)=1+r(m)
Si m est impair, r(2*m)=r(m)
Notons ainsi que les nombres puissances de 2, donneront une plus grande résilience.
φ(2
n-1) = 2
n-2φ(2
n-2) = 2
n-3.
.
φ(2
2) = 2 φ(2) = 1
Ainsi r(
2
n) = n.
Donc
pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, nous avonsr (2
k)= k
.Trouver un entier n₁ à trois chiffres tel que r(n₁) = 10
Nous avons r(
2
10)= 10 et
r(2
9)= 9.
2
9= 512.
Le plus petit nombre de 3 chiffres tel que r(n)=10 est 641.
Trouver un entier n
2à cinq chiffres tel que r(n
2) = 17
Nous avons r(
2
17) = 17 et
r(2
16) = 16.
2
17= 131072.
2
16= 65536.
65537 est un nombre de 5 chiffres tel que r(n) = 17 (c’est d’ailleurs le plus petit).
Question Q3
Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Le plus grand entier n tel que r(n)=2 est n=6.
Le plus grand entier n tel que r(n)=3 est n=18.
Le plus grand entier n tel que r(n)=4 est n=54.
Le plus grand entier n tel que r(n)=5 est n=162.
Le plus grand entier n tel que r(n)=6 est n=486=2*3^5.
Le plus grand entier n tel que r(n)=7 est n=1458=2*3^6.
Le plus grand entier n tel que r(n)=8 est n=4374=2*3^7.
Le plus grand entier n tel que r(n)=9 est n=13122=2*3^8.
. .
Le plus grand entier n tel que r(n)=9 est n=354294=2*3^11.
Le plus grand entier n tel que r(n) = k est n = 2*3 ^ (k-1).
ET ;) Avec http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183493597, on note que R(n)>= [(log n – log 2)/log 3]+1
Qui pour R(n)=12 nous donne effectivement n<=354294 =e^ (ln 2 + 11*ln 3)
