Question Q1 Æ Réponse c On a immédiatement

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1 - 2 M. Lichtenberg

QCM – Page 148

Question Q1 Æ Réponse c On a immédiatement

5

2 5

ln e = 2 . Or 5

2, 499

2 ≠ et 5 2

2 ≠ 5 mais

ln 5

2 5

e = 2 .

Question Q2 Æ Réponse b

On a : ( ) ^{2 2} 2 ^{2 2} 2 2 ^{4 4 2 4 2}

1 1 x x

x x x

e e e e e

e e e

× − +

× = × = = ≠ (en général).

Par ailleurs : e ^{4 2 + x} = × e ⁴ e ^{2 x} ≠ e ⁴ + e ^{2 x} (en général).

En revanche, on a : ( ) ^{e 2 + x 2 = e 2 2 ( + x ) = e 4 2 + x .}

Question Q3 Æ Réponse a

Comme a < b et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \ , on a immédiatement : e ^a < e ^b et donc, comme e ^b > 0 : 1

a b

e e < . On en tire aussi : 1 1

a b

e > e , soit : e ^{− a} > e ^{− b} . On rejette ainsi la réponse b.

On a : 0 < < a b , on a : a 0

b > et donc : 1

a

e b > . On rejette ainsi la réponse c.

Question Q4

Æ Réponse c (attention. Faute de frappe dans le livre)

La croissance stricte sur \ de la fonction exponentielle nous permet d’écrire :

] [

3 ^x 1 2 ^x 3 3 1 2 3 2 2 ;

e ^{− +} < e ^{− +} ⇔ − + < − + ⇔ − < ⇔ ∈ − + ∞ x x x x

2011-2012 QCM - page 148

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Question Q5 Æ Réponse a

On a : ^{f x} ( ) ^{e x ln x 1} _x ^{ln x}

e

= − + = + .

Comme lim ^x lim ln

x e x x

→+∞ = →+∞ = +∞ , on a 1 lim _x 0

x ^→+∞ e = puis ^lim ( )

x f x

→+∞ = +∞ .

Par ailleurs : ⁰

lim 0 ^x 1

x e e

→ = = et

0 0

lim ln

x x

→ x

>

= −∞ et donc : ( )

0 0

lim 1

x x

→ f x

>

= −∞ ≠ . On rejette ainsi la réponse b.

Enfin : ¹

1

lim ^x

x e e e

→ = = et

1

lim ln ln1 0

x x

→ = = et donc : ( )

1

lim 1 2

x f x e

→ = ≠ e . On rejette ainsi la réponse c.

Question Q6 Æ Réponse b Comme lim

x x

e

→+∞ x = +∞ , on a lim _x 0

x

x

→+∞ e = et donc : ^lim ( ) ^{2 0 2}

x f x

→+∞ = + = . On rejette ainsi la réponse a et on conserve la réponse b.

On a lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = donc 1

lim _x

x ^→−∞ e = +∞ puis : 1

lim _x lim _x

x x

x x

e e

→−∞ →−∞

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ × ⎟ ⎠ = −∞ . On rejette ainsi la réponse c.

Question Q7 Æ Réponse b

La fonction considérée est de la forme e ^u avec u dérivable sur \ .

Une telle fonction est elle-même dérivable sur \ et admet pour dérivée la fonction : u ' × e ^u . Ici, on a : ^{u x} ( ) ^{= − + x 1} et donc : ^{u x '} ( ) ^{= − 1 puis : f '} ( ) ^{x = − e − + x 1 .}

Question Q8 Æ Réponse c

Posons : ^{u x} ( ) ^{= x 3 + 1} . On a alors : ^{u x '} ( ) ^{= 3 x 2 et f x} ( ) ^{= u x '} ( ) ^{× e u x ( ) .}

Les primitives de la fonction f sont donc de la forme :

( )

1

u x x

x 6 e + = C e ⁺ + C

où C est une constante réelle quelconque

Seule la fonction de la réponse c convient ( C = 1 ).