Des questions booster : la réponse de la question 21 peut faciliter la réponse de la question 22

La course aux nombres au cycle 3

Des questions booster : la réponse de la question 21 peut faciliter la réponse de la question 22

Exemples – CM1 mars 2018 :

Q21 : le quart de 12 œufs Q22 : le quart de 120g 4 thèmes abordés :

- numération (cf Gazette n°3) - grandeurs et mesures (cf Gazette n°1)

- problèmes élémentaires - faits numériques automatisés (cf Gazette n°2)

Les 10 premières questions sont : - communes aux sujets CM1, CM2 et 6

- des procédures élémentaires et des faits numériques automatisés Un concours de calcul mental (sans

écrits intermédiaires) avec 30 questions en 9 minutes.

Un sujet en mars et un sujet en juin avec la possibilité pour enseignants et élèves de mesurer les progrès.

Des questions pour respirer à partir de la question 11 : une alternance de questions plus ou moins coûteuses cognitivement

Les questions ne sont pas dans un ordre de difficulté croissante

Des questions pour estimer

Q20 : La hauteur d’une table est : 80 cm – 80 dm – 80 m

Nécessite un entraînement régulier sous différentes formes : questions flash, traitement des erreurs, points

méthodologiques et institutionnalisation, avec un ancien sujet complet ou

seulement quelques questions, ….

Des outils pour les enseignants - gazettes (exploitation des sujets) - annales

www.ac-strasbourg.fr/pedagogie/mathematiques/competitions/can

Gazette de la Course aux nombres – cycle 3

Cette gazette a vocation à vous accompagner pour entraîner vos élèves. Nous vous proposons quelques exemples de questions commentées pour vous donner un éclairage sur les intentions didactiques des questions posées à la course aux nombres et sur les progressions possibles à adopter notamment lors de séances de questions flash ou calcul mental.

Le thème de cette première gazette concerne les grandeurs et mesures.

Question Réponse Intentions

C o n v e rs io n s

CM1 Mars

2018

4 mm + 7 cm …… mm Afin de travailler les deux aspects du système

métrique

•

aspect « position » : l’ordre a été inversé (4 mm + 7 cm plutôt que 7 cm + 4 mm) pour que ne s’installe pas la procédure consistant à reprendre l’ordre du tableau de

conversion.

•

aspect « décimal » : l’une des unités de mesure dépasse 9 (ici 24) pour permettre d’utiliser la relation 10 mm = 1 cm

Ces deux exemples sont à mettre en parallèle avec le travail de numération 4U + 7D et 24U+ 7D.

CM2 Mars

2018

24 mm + 7 cm …… cm

6^ème Mars

2018

Complète. 1 m

= …… L

1 m

= 1 000 L est un « fait numérique » à installer.

Cette situation sera l’occasion de rappeler qu’on parle rarement du kL car nous disposons du m

.

→ On pourra tout de même indiquer qu’avec la signification du préfixe kilo, 1 kL = 1 000 L, donc 1 m

= 1 000 L.

P ré fi x e s

2018

Complète. 800 g + 200 g = ……. kg Connaitre et utiliser les relations entre des unités repères : 1 kg = 1 000 g

1 L = 100 cL

→ Procédures sous-jacentes : les compléments à 100 et à 1 000, dans le contexte des grandeurs.

CM2 6^ème

Juin

2018

Complète. 75 cL + … cL = 1 L

P ro p o rt io n n a li té

CM1 Mars 2018

3 sucettes coûtent 1 € 50 centimes. Combien coûte 1

sucette ?

Travailler progressivement les calculs :

1 € 50 correspond à 3 fois 50 centimes (qu’on peut visualiser avec 3 pièces de 50 cts)

1 € 20 correspond à 3 fois 40 centimes (pas d’appui sur les pièces)

2,10 € correspond à 3 fois 0,70 €.

→ Lire 2,10 € comme étant "deux euros et 10 centimes" et non pas "deux virgule 10 euros" ou

"deux euros dix", en cohérence avec la lecture préconisée de 2,10 qui est "2 et dix centièmes" et non pas "deux virgule 10".

→ Lire cette écriture « deux euros dix » encouragerait une fausse représentation d’un nombre décimal comme juxtaposition de deux entiers.

CM2 Mars 2018

3 sucettes coûtent 1 € 20 centimes. Combien coûte 1

sucette ?

6^ème Mars 2018

3 sucettes coûtent 2,10 €.

Combien coûte 1 sucette ?

A ir e s

CM1 Mars

2018

Complète.

Avoir une représentation spatiale du produit.

→ Ces problèmes dits "de configuration

rectangulaire" sont l'occasion de faire évoluer la conception de la multiplication de l'addition itérée au produit de mesure : en mettant à jour que la quantité de fleurs ne dépend que de la quantité de lignes et de colonnes.

Ils permettent d’encourager la procédure savante : 3 (lignes) fois 7 (colonnes) = 21 fleurs, plutôt que 3 fois 7 fleurs ou 7 fois 3 fleurs.

→ Ces situations sont l’occasion de travailler la commutativité de la multiplication en dégageant avec les élèves la méthode experte de

dénombrement des unités d’aire (6

7 ou 7x6 plutôt que de compter un à un, de 6 en 6, ou de 7 en 7).

→ En CM2, on mobilise pleinement le sens de la mesure de l’aire et il ne faut pas introduire trop précocement des formules dont l’utilisation automatisée évacue le sens.

CM2 Mars 2018

Quelle est l’aire du

rectangle ?

6^ème Mars 2018

Quelle est l’aire du rectangle ?

Etendre la multiplication au produit d’un entier par un nombre non entier.

Elle offre une transition entre le cas où les longueurs sont entières (procédure de dénombrement lorsque le quadrillage est apparent) et une utilisation de la formule.

Il est important de faire émerger différentes stratégies et ne pas enfermer les élèves dans l’une d’entre elles.

O rd re s d e g ra n d e u r

Entoure la réponse possible.

La hauteur de la salle de classe est :

3 km 30 cm 3 m Les exercices d’ordre de grandeur permettent de :

* Donner du sens aux unités de longueur

* Fixer quelques références culturelles

* Développer l’esprit critique

2018

Entoure la réponse possible.

La hauteur de la tour Eiffel est environ :

3 km 3 m 300 m

6^ème Juin 2018

Entoure la (les) réponse(s) possible(s).

La taille d’une personne peut être :

180 m 180 cm 1,8 m

Gazette de la Course aux nombres – cycle 3 – n°2

Cette gazette a vocation à vous accompagner pour exploiter les sujets et aider vos élèves à progresser.

Quelques questions du sujet de mars 2019 ont été sélectionnées pour vous donner un éclairage sur les intentions didactiques et sur les procédures possibles qui pourront être observées, mises en évidence et travaillées lors de séances de calcul mental ou mobilisées lors de questions flash . Le thème de cette deuxième gazette concerne les faits numériques mémorisés.

Les questions retenues sont commentées à travers ce prisme. Cela permettra d’illustrer quand et comment ces faits numériques sont mobilisés et montrer ainsi qu’ils sont incontournables.

Les faits numériques mémorisés (FNM) sont des résultats numériques dits disponibles, ils sont récupérables en mémoire à court terme de manière automatique.

Un fait numérique demande à être construit avec du sens pour être mémorisé en profondeur. Les récupérations successives contribuent à son automatisation. Selon le niveau, certains faits numériques sont encore en construction ou déjà automatisé.

Quelques exemples de faits numériques mémorisés ou à mémoriser :

• Les tables d’additions, de multiplication ;

• les compléments à 5, à 10 et par extension à 100, à 1 000 ;

• différentes décompositions d’un nombre (décompositions additives des nombres inférieurs à 10, décompositions multiplicatives, décompositions en unité de numération, …) ;

• les doubles et les moitiés, les carrés ;

• les relations entre les unités de numération (Ex : un millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1000 unités) ;

• les multiplications/divisions par 10, 100, 1000…(puis par 0,1…) ;

• certains critères de divisibilité (multiples de 2, de 5, de 10, de 25, 50, de 250, …).

Les faits numériques mémorisés sont nécessaires pour :

- construire les nombres (trouver le nombre suivant, la décomposition additive inférieure à 10, la décomposition en unités de numération) ; - disposer de relations entre les nombres ;

- installer les procédures de calculs ; - permettre un contrôle ;

- éviter la surcharge.

Plus l’élève dispose de faits numériques mémorisés, et donc d’automatismes : - plus il est disponible pour réfléchir aux procédures de calcul ;

- plus il a le choix entre plusieurs procédures en fonction des relations entre les nombres en jeu.

Au cours des séances d’apprentissage en calcul mental, il enrichit ses connaissances et apprend à s’adapter en fonction des nombres en choisissant une procédure plus efficace car moins coûteuse en mémoire et en temps.

Les élèves qui disposent de peu de FNM et peu de procédures automatisées s’enferment dans un comportement automatique de calcul, en utilisant la même procédure, fiable sans doute, mais coûteuse dans un contexte de calcul mental. Pour sortir de cet automatisme, il faut maitriser des FNM et des procédures automatisées : c’est le paradoxe de l’automatisme théorisé par Butlen et Masselot (2012).

Références

Butlen, D. & Masselot, P. (2012). Dialectique entre sens et techniques, l'exemple du calcul mental. In Le nombre au cycle 2 (pp. 11-22). ScerÉn CNDP-CRDP. Disponible en ligne : http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

N° Question Réponse Commentaires

Calcul automatique

1 7 x 3

FNM (faits numériques mémorisés) en récupération simple.

3 Moitié de 18

27

CM1 45 ÷ 5

Le FNM en jeu ici est 45 = 5 x 9.

Cette égalité doit être travaillée dans tous les sens pour être automatisée et disponible dans tous les cas.

Connaitre une table c’est pouvoir répondre non seulement à 5 x 9 = ? mais aussi à « 5 x ? = 45 », « 45 = ? x ? ».

En s’appuyant sur le lien entre la multiplication et la division, on pourra rapidement trouver ou mémoriser les réponses à : « 45 ÷ 5 = ? », « 45 ÷ ? = 9 », « 45 ÷ ? = 5 »

Pour répondre à « 45 ÷ 5 = ? », l’élève peut utiliser « en 45 combien de fois 5 ? ».

2 49 = … x… Ici aussi on retrouve la nécessité de connaitre ses tables dans tous les sens (cf question 27). 49 doit être (re)connu comme étant le carré de 7.

Calcul réfléchi

4 17 - 9

17 – 9 = 8 n’est pas un fait numérique à mémoriser ; en revanche, il doit pouvoir être retrouvé rapidement.

Il existe plusieurs procédures possibles s’appuyant toutes sur des FNM.

• 17 – 7 - 2 utilise une décomposition de 9 : « 9 = 7 + 2 » (passage à la dizaine inférieure) ;

• 17 – 10 + 1 s’appuie sur le FNM « 10 = 9 + 1 » et sur une procédure pour soustraire une dizaine : soit en s’appuyant sur la décomposition canonique de 17 : « 17 = 10 + 7 », soit en d’appuyant sur la

numération : 1D7U.

 La procédure « moins 10 plus 1 » peut d’ailleurs être automatisée après avoir été comprise.

• 17 – 9 = (17 + 1) - (9 + 1) = 18 – 10. Cette procédure peu connue s’appuie sur le fait que la soustraction rend compte de la différence entre deux nombres, et que celle-ci reste inchangée si l’on ajoute le même nombre aux deux nombres (écart constant).

27

6è 120 ÷ 5 Le critère de divisibilité de 5 est un FNM depuis le CM1. En 6è, ici il permet un contrôle sur la nature du résultat : il s’agira un nombre entier.

27

CM2 60 ÷ 5

5 x 12 = 60 n’est pas censé être un FNM. Il s’agit donc ici de choisir une procédure qui dépendra des faits numériques disponibles.

Première procédure

Elle met en jeu en particulier la distributivité de la multiplication sur l’addition : 60 = 50 + 10.

Les étapes ci-dessous traduisent ce que l’élève peut faire mentalement : 60 = 50 + 10

= (5 x 10) + (5 x 2) = 5 x (10 + 2) = 5 x 12 donc 60 ÷ 5 = 12

Ou 60 = 50 + 10

donc 60 ÷ 5 = (50 ÷ 5) + (10 ÷ 5) = 10 + 2

= 12

L’élève peut mobiliser la décomposition additive 60 = 50 + 10 (FNM) si les multiples de 5 (ici 50 et 10) sont disponibles. On voit que les FNM donnent des idées de procédures de calcul et permettent d’aller jusqu’au bout en évitant la surcharge.

Deuxième procédure

Elle met en jeu l’associativité de la multiplication et qui pourrait être automatisée : diviser par 5 revient à diviser par 10 puis à multiplier par 2 (ou le contraire).

60 ÷ 10 = 6 et 6 x 2 = 12 sont deux FNM disponibles à ce niveau.

Remarque : la question 19 est 12 x 5 = ? qui peut permettre à l’élève de trouver directement la réponse.

N° Question Réponse Commentaires

Calcul réfléchi algorithmique

25 tous

341 ×7

Entoure la bonne réponse sans effectuer précisément le

calcul.

1 117 2 387 7 341

Source : Exemple de réussite Repères annuels de progression CM1 Pour répondre rapidement, il faut estimer l’ordre de grandeur du résultat.

Il faut pouvoir considérer uniquement les centaines de 341, et donc mobiliser la décomposition de 341 en unités de numération (FNM).

 300 × 7 = 2 100 est un résultat issu de deux FNM : 3 × 7 = 21 et 21 centaines = 2 100.

Remarquons que 7 341 peut rapidement être éliminé avec le FNM « 7 x 1 = 7 » et la connaissance (au moins partielle) de l’algorithme de la multiplication posée.

Numération

11 CM2

Combien de dizaines

dans un millier ? … dizaines

Deux procédures :

- mobilisation de connaissances automatisées sur les unités de numération : ici le millier construit comme 100 dizaines (FNM).

- traduction de dizaine et millier par 10 et 1 000 puis recherche de la relation entre 10 et 1000 du type 10 × … = 1 000.

Placement sur une droite graduée

8 Complète.

Pour trouver l’intervalle entre deux graduations, le FNM en jeu ici est « le milieu » entre 40 et 50. Il faut ensuite poursuivre le raisonnement pour obtenir 55. Si l’élève obtient rapidement 45, il accèdera plus facilement à 55 sans être en surcharge.

Calcul avec les grandeurs

15

CM2 Complète. 25 cL + … cL = 1 L

Le FNM est un complément à 100. Ici 25 + 75 = 100.

L’idée de partir sur un complément à 100 est aussi suggérée par « cL » si l’élève le lit bien « centilitre ».

Il mobilise en plus la connaissance 1L = 100 cL

Résolution de problèmes (proportionnalité) 9 4 gommes pèsent 50 g. 8 gommes pèsent

… g.

Le FNM est la relation « double » entre 4 et 8 (4 + 4 = 8 ou 4 x 2 = 8)

Il permet la reconnaissance de la proportionnalité et le traitement de ce problème.

C’est le FNM disponible qui peut donner une idée de résolution : « 7 gommes » à la place de « 8 gommes » ne conduirait pas à la même idée.

26 CM2

2 kg de pommes coûtent 3€.

5 kg de ces mêmes pommes coûtent 7,50€.

7 kg de pommes coûtent

… €.

Le fait numérique 2 + 5 = 7, s’il est disponible, permet de reconnaître et résoudre ce problème de proportionnalité par les propriétés de linéarité (ici additive).

21 CM1

Un train électrique fait un tour de circuit en 25 s.

Il fait 2 tours en … s .

Les quatre premiers multiples de 25 sont explicitement travaillés dès le début du CM1.

Le premier FNM est le double de 25, soit 25 × 2 = 50 ;

Le second FNM est 100 = 4 × 25, donc une décomposition multiplicative de 100 mettant en jeu le quatrième multiple de 25.

Remarque : Si ce fait numérique est installé, il participe à l’enrichissement du nombre 100, et permettra de construire du lien entre = = 0,25.

22 CM1

Un train électrique fait un tour de circuit en 25 s.

Il fait … tours en 100 s.

21 CM2/

6°

Une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h. (6è : 50 km/h)

Elle parcourt

… km en 1 heure.

Ici encore les FNM sont principalement en jeu dans le passage de la question 21 à la question 22.

22 CM2/

6°

Une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h. (6è : 50 km/h)

Elle parcourt … km en 2 heures.

(6° en 1 h 30 min)

Gazette de la Course aux nombres – cycle 3 – n°3

Cette troisième gazette concerne la numération.

Dans la numération décimale dite « de position », on distingue deux aspects :

 l’aspect « positionnel » : chaque chiffre renvoie à une quantité différente selon sa position, chaque position renvoyant à une unité de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, …) ; une position vide est indiquée par « 0 ».

 l’aspect « décimal » : chaque unité de numération est dix fois plus grande (resp. plus petite) que la précédente (resp. la suivante).

Dans les manuels, la grande majorité des exercices travaillent l’aspect positionnel en négligeant l’aspect décimal (Réf. Tempier) ; les exercices proposés par la CAN essaient de rééquilibrer les apprentissages.

N° Question Réponse Commentaires

Unités de numération - Langue naturelle

11 CM1 mars

Combien de centaines

dans un millier ? … centaines Travail sur l’aspect décimal du système de numération, et plus particulièrement sur des liens non usuels entre des unités de numération.

L’usage du tableau de numération a tendance à privilégier la relation de chaque unité de numération à l’unité simple (1 centaine = 100 unités ; un millier= 1000 unités, …) au détriment des autres relations.

L’enjeu est bien de travailler sur le sens de la numération et non sur la technique des zéros.

 En CM1, on peut répondre immédiatement si le millier a été construit comme 10 centaines.

 En sixième, on peut répondre immédiatement si le million a été construit comme 1000 milliers.

11 CM2 mars

Combien de dizaines

dans un millier ? … dizaines 11

6^ème mars

Combien de milliers y

a-t-il dans un million ? … milliers

Unités de numération - Ecriture décimale ¹² CM1 mars

Complète.

100 x … = 1 000

Ces questions n°12 sont les traductions respectives des questions n°11 du registre de la langue naturelle dans le registre de l’écriture décimale.

Elles sont souvent mieux réussies que les questions précédentes, parce qu’une simple technique de « comptage de zéro » permet d’aboutir sans que le sens ne soit pour autant compris.

Piste de travail en classe :

 Proposer des exercices d’écriture d’un registre à l’autre (langue naturelle  écriture décimale).

Un troisième registre, celui utilisant les symboles des unités de numération, peut servir de traduction intermédiaire.

Ainsi, la question 11 de CM1 peut se traduire en 1C × … = 1M, avant de devenir 100 × …=1000. Et réciproquement.

Le matériel de numération peut être un appui nécessaire pour travailler ces égalités.

 Par ailleurs, la multiplication par 10, 100, 1000 doit être reconnue comme une situation de numération plutôt que comme un exercice de calcul. On peut privilégier une formulation du type :

« Multiplier par 10, c’est donner à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes devient celui des unités, etc. »

La manipulation d’un glisse-nombre, associée à une verbalisation judicieuse*, permet d’illustrer les propriétés de la numération.

* « Je multiplie par 100 donc mon chiffre des unités devient mon chiffre des centaines. » 12

CM2 mars

10 x … = 1 000

12 6^ème mars

1 000 x … = 1 000 000

N° Question Réponse Commentaires

Unités de numération et collections organisées

13 CM1 et CM2

mars

L’unité est le petit

cube. Il y a . . . unités en

tout.

Ce type de questions permet de rappeler que le système de numération décimal code l’organisation d’une collection.

Les relations entre les unités de numération peuvent être matérialisées : il y a dix dizaines dans une centaine, et dix centaines dans un millier.

Ces questions demandent :

- de reconnaître la plaque comme une centaine (soit par fréquentation du matériel de numération, soit par comptage puis 10 x 10 = 100);

- d’identifier le grand cube comme étant un millier soit directement, soit par comptage en plaques (10 plaques de 100 =1000), ou encore par comptage directement en unités (10 x 10 x 10=1000).

Dans ces questions, nous avons choisi la formulation « unités en tout », qui est à distinguer de la formulation « unités libres (ou isolées) ». Elle remplace avantageusement l’opposition plus commune que l’on trouve dans de nombreux manuels « nombre de /chiffre des ».

Cette terminologie est préconisée par des chercheurs, en particulier F. Tempier (nd).

13 6^ème mars

L’unité est le petit

cube. Il y a . . . unités en

tout.

13 CM1 juin

L’unité est le petit cube.

Il y a … unités en tout.

Au vu des nombreuses difficultés déjà rencontrées par les élèves en mars sur cette question, nous avons fait le choix de reconduire la consigne, sans pour l’instant, ajouter de difficulté.

Piste de travail en classe :

 Une situation plus intéressante serait de demander le nombre de dizaines en tout (ou de centaines).

Progressivité des situations : présence ou non de toutes les unités de numération isolées.

 Activité ritualisée proposée par Fréderick Tempier : la collection du jour.

13 CM2

juin

L’unité est le petit

cube. Il y a … unités en

tout.

13 6^ème Juin

L’unité est le petit

cube. Il y a …

unités en tout.

N° Question Réponse Commentaires

Unités de numération et écriture chiffrée

10 mars

Combien y-a- t-il de dizaines

en tout dans 234 ?

. . . dizaines

La question n°10 est du même type que la précédente (n°13), exprimée dans un autre registre (écriture chiffrée). Elle est plus abstraite que la précédente car on ne voit plus la quantité.

L’écriture 234 rend compte de l’organisation « 2 centaines 3 dizaines 4 unités » ;

Pour que la procédure des élèves ne soit pas mécanique, ils doivent se représenter cette quantité comme une collection organisée. Pour répondre, ils doivent additionner les 3 dizaines libres et les 20 dizaines regroupées dans les 2 centaines.

 Le recours au matériel de numération utilisé dans la question 13 peut permettre de vérifier/valider/prouver, pour les élèves qui hésitent encore.

14 CM

Juin Complète.

642 = … dizaines … unités Différentes écritures sont préconisées pour comprendre le sens de l’écriture décimale, notamment les écritures transitoires du type :

64D2U ou 6C24U ou même 24U6C …

 Pour travailler les différentes décompositions d’un nombre : situation 5 la fleur, ressource Eduscol.

14 6^ème juin

6 042 = … centaines … unités

Références

Tempier, F (nd). En ligne : http://numerationdecimale.free.fr/

Des liens utiles pour utiliser diverses représentations de matériel de numération : https:\\micetf.fr\numop\

http://nlvm.usu.edu/fr/nav/topic_t_1.html

http://www.glencoe.com/sites/common%5fassets/mathematics/ebook%5fassets/vmf/VMF-Interface.html