A2831 – Les fractionnaires sont de la partie [** à la main]
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x,notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de
x x206765
Problème n°2
Q₁ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x.y] = {x + y} ? Q₂ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}.{y] = {x + y} ?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
P₁. Le nombre d’or répond à la question :x= (√5 + 1)/2
Un tableur donne immédiatement le résultat de x*20 -6765/x soit 10946.
Plus élégamment et sans tableur, on a x²=x+1 ; x4 = 3x +2 ; x8 = 21x +13 ; x16 = 987x +610 et x20 = x4 . x16 = 6765.x +4181
Comme 1/x = x-1, on a donc x20 – 6765/x = 6765.x + 4181 – (6765.x – 6765) = 4181 + 6765 = 10946
P₂ Q₁ les nombres de la forme x=a+√b et y=a-√b répondent à la question, leur produit et leur somme étant des nombres entiers.
P₂ Q₂ on a {x +y} égal soit à {x} + {y} soit à {x} + {y} -1. Dans le premier cas {x} et {y} étant strictement inférieurs à 1, on ne peut avoir {x}.{y}= {x} + {y} car {x}.{y} est toujours inférieur à {x} + {y}.
Dans le second cas on aurait {x}.{y}= {x} + {y} -1, soit {x}.(1-{y})= 1-{y}, soit {x} =1 et {y}=1 ce qui n’est pas possible non plus. Donc pas de solution.
