A335 - Les nombres chanceux
Soit un réel strictement positif x de partie entière e et d’écriture dans le système décimal : x = e , c1 c2 c3 c4 - - -
Cette écriture est unique, si selon l’usage, on interdit de n’avoir que des 9 à partir d’un certain rang.
On complète l’écriture des nombres décimaux par des 0 de manière à avoir systématiquement une infinité de décimales.
Si 1 p n sont deux entiers, on note xp, n le bloc constitué des p décimales consécutives de x, de la (n – p +1)ième jusqu’à la nième. A condition d’admettre un ou plusieurs zéros en début d’écriture, on peut considérer xp, n comme l’écriture décimale d’un entier à p chiffres.
Ainsi, x1, n est la nème décimale de x.
Exemple : si x = = 3,14159 26535 89793 23846 --- alors 2, 5 = 59 1, 11 = 8 4, 4 = 1415 etc.
On dit que l’entier positif n est un coïncident de x si xp, n = n ; p étant le nombre de chiffres de n.
Exemples :
y = 1 / 7 = 0,142857142857142857142857142857 --- admet les coïncident :
1 [x1, 1 = n] 5 [x1, 5 = 5] 14 [x2, 14 = 14] 28 [x2, 28 = 28] 571 [x3, 571 = 571] etc.
z = 1 / 4 = 0,25000000--- n’a pas de coïncident.
Enfin, on dit que x est chanceux s’il a au moins un coïncident.
Questions :
1) Parmi les rationnels p / q avec 1 p < q 13 p, q premiers entre eux, quels sont les chanceux ? 2) Quel est le statut de 5 / 17 ?
Quel est le statut de 11 / 19 ?
3) Parmi nos constantes favorites : , e, 2 , 3, 5 quelles sont les chanceuses ?
4) Si l’on tire au hasard avec équiprobabilité les décimales c1 c2 c3 c4 --- de x = 0, c1 c2 c3 c4 --- Quelle est la probabilité p que x soit chanceux ?
p a le sens suivant : Si pn est la probabilité que xn = 0, c1 c2 c3 c4 --- cn ait un coïncident inférieur ou égal à n, pn est une suite croissante, majorée par 1, donc a une limite prise comme définition de p.
Solution proposée par Michel Lafond:
Question 1 :
Si q = 2 x = 1 / 2 = 0,5000--- n’est pas chanceux.
Si q = 3 1/3 = 0,3333--- et 2/3 = 0,6666666--- sont chanceux. [En gras, un coïncident].
Si q = 4 1/4 = 0,25000--- et 3/4 = 0,75000--- ne sont pas chanceux.
Si q = 5 1/5 = 0,2000---, 2/5 = 0,4000---, 3/5 = 0,6000---, 4/5 = 0,8000---, ne sont pas chanceux.
Si q = 6 1/6 = 0,1666--- et 5/6 = 0,8333--- sont chanceux.
Si q = 7 1/7 = 0,142857 142857--- (et plus généralement p / 7) a une période de longueur 6.
Tous sont chanceux :
1/7 = 0,142857 142857--- a le coïncident 1.
2/7 = 0,285714 285714--- a le coïncident 8.
3/7 = 0,428571 428571--- a le coïncident 2.
4/7 = 0,571428 571428--- a le coïncident 4.
5/7 = 0,714285 714285--- a le coïncident 7.
6/7 = 0,857142 857142--- a le coïncident 42 car 2 occupe les positions 6 k . Si q = 8 1/8 = 0,125000--- et 5/8 = 0,625000--- sont chanceux.
3/8 = 0,375000--- et 7/8 = 0,875000--- sont malchanceux.
Si q = 9 p/9 = 0,pppppp--- (avec 1 p < 9) est chanceux avec le coïncident p.
Si q = 10 seul 1/10 = 0,1000--- est chanceux.
Si q = 11 1/11 = 0,090909--- est malchanceux car un coïncident pair devrait se terminer par 9, et un coïncident impair devrait se terminer par 0.
Il en est de même de 3/11 = 0,2727--- 5/11 = 0,4545--- 7/11 = 0,6363--- et 9/11 = 0,8181…
Par contre : 2/11 = 0,1818--- a le coïncident 1, 4/11 = 0,3636--- a le coïncident 3, 6/11 = 0,5454--- a le coïncident 4, 8/11 = 0,7272--- a le coïncident 2, et 10/11 = 0,9090--- a le coïncident 9.
Si q = 12 tous sont chanceux :
1/12 = 0,08333…et 7/12 = 0,58333--- ont le coïncident 3.
5/12 = 0,41666…et 11/12 = 0,91666--- ont le coïncident 6.
Si q = 13 1/13 = 0,076923 076923--- (et plus généralement p / 13) a une période de longueur 6.
1/13 = 0,076923 076923 076923--- est malchanceux car un coïncident pair devrait se terminer par 7,9 ou 3, et un coïncident impair devrait se terminer par 0,6 ou 2. La contradiction est due à la parité.
3/13 = 0, 230769 230769--- et 9/13 = 0,692307 692307--- sont malchanceux pour la même raison.
2/13 = 0, 153846--- a le coïncident 1.
4/13 = 0, 307692 307692--- a le coïncident 76 car 76 mod 6 = 4.
5/13 = 0, 384615 384615--- a le coïncident 38 car 38 mod 6 = 2.
6/13 = 0, 461538 461538--- a le coïncident 53 car 53 mod 6 = 5.
7/13 = 0, 538461 538461 --- a le coïncident 4.
8/13 = 0, 615384 615384--- a le coïncident 15 car 15 mod 6 = 3.
10/13 = 0, 769230 769230--- a le coïncident 7.
11/13 = 0, 846153 846153--- a le coïncident 5.
12/13 = 0, 923076 923076--- a le coïncident 3.
Résumé : Les chanceux () dans les cas 1 p < q 13 p, q premiers entre eux : numérateur
dénominateur
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
12
13
Question 2 :
5 / 17 est malchanceux. En effet :
5 / 17 = 0, 2941176470588235 2941176470588235--- a une période 16 (maximale).
Supposons que 5 / 17 ait un coïncident C.
Si C se termine par 0, C ne peut être que 70, 470, 6470, 76470 et plus généralement : C = A 10n + 6470 où n est au moins égal à 4 ce qui entraîne 10n = 0 mod 16.
Or 70 mod 16 = 470 mod 16 = 6470 mod 16 = 76470 mod 16 = 6. Donc C = 6 mod 16.
Mais les seuls 0 de la périodes se rencontrent aux rangs 10 + 16 k, et par définition, C se rencontre au rang C, donc il faut C = 10 mod 16. Il y a contradiction.
Pour la suite, il est important de remarquer que pour le cas x = 5 / 17, il suffit d’examiner les coïncidents de 1, 2, 3 ou 4 chiffres à cause de la propriété vue plus haut : n 4 entraîne 10n = 0 mod 16.
Si C se termine par 1, C ne peut être que 1, 41, 941, 2941, 52941 etc. ou 1, 11, 411, 9411, etc.
Dans le premier cas, 1 mod 16 = 1 ; 41 mod 16 = 9 ; 941 mod 16 = 13 et 2941 mod 16 = 13.
Donc C = 1, 9 ou 13 mod 16.
Dans le second cas, 1 mod 16 = 1 ; 11 mod 16 = 11 ; 411 mod 16 = 11 et 9411 mod 16 = 3.
Donc C = 1, 3 ou 11 mod 16.
Mais C mod 16 = 4 ou 5 (rangs des "1" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 2, C ne peut être que 2, 52, 352, 2352, etc. ou 2, 82, 882, 5882 etc.
Dans le premier cas, 2 mod 16 = 2 ; 52 mod 16 = 4 ; 352 mod 16 = 0 et 2352 mod 16 = 0.
Donc C = 0, 2 ou 4 mod 16.
Dans le second cas, 2 mod 16 = 2 ; 82 mod 16 = 2 ; 882 mod 16 = 2 et 5882 mod 16 = 10.
Donc C = 2 ou 10 mod 16.
Mais C mod 16 = 1 ou 14 (rangs des "2" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 3, C ne peut être que 3, 23, 823, 8823, etc.
Or 3 mod 16 = 3 ; 23 mod 16 = 7 ; 823 mod 16 = 7 et 8823 mod 16 = 7.
Donc C = 3 ou 7 mod 16.
Mais C mod 16 = 15 (rang de "3" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 4, C ne peut être que 4, 94, 294, 5294, etc. ou 4, 64, 764, 1764 etc.
Dans le premier cas, 4 mod 16 = 4 ; 94 mod 16 = 14 ; 294 mod 16 = 6 et 5294 mod 16 = 14.
Donc C = 4, 6 ou 14 mod 16.
Dans le second cas, 4 mod 16 = 4 ; 64 mod 16 = 0 ; 764 mod 16 = 12 et 1764 mod 16 = 4.
Donc C = 0, 4 ou 12 mod 16.
Mais C mod 16 = 3 ou 8 (rangs des "4" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 5, C ne peut être que 5, 705, 4705 etc. ou 5, 35, 235, 8235 etc.
Dans le premier cas, 5 mod 16 = 5 ; 705 mod 16 = 1 ; 4705 mod 16 = 1.
Donc C = 1 ou 5 mod 16. Mais le rang des "5" est 11 + 16 k. Il y a contradiction.
Dans le second cas, 5 mod 16 = 5 ; 35 mod 16 = 3 ; 235 mod 16 = 11 et 8235 mod 16 = 11.
Donc C = 3, 5 ou 11 mod 16. Mais le rang des "5" est 16 k. Il y a contradiction.
Si C se termine par 6, C ne peut être que 6, 76, 176, 1176, etc.
Or 6 mod 16 = 6 ; 76 mod 16 = 12 ; 176 mod 16 = 0 et 1176 mod 16 = 8.
Donc C = 0, 6, 8 ou 12 mod 16.
Mais C mod 16 = 7 (rang de "6" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 7, C ne peut être que 7, 17, 117, 4117, etc. ou 7, 47, 647, 7647 etc.
Dans le premier cas, 7 mod 16 = 7 ; 17 mod 16 = 1 ; 117 mod 16 = 5 et 4117 mod 16 = 5.
Donc C = 1, 5 ou 7 mod 16.
Dans le second cas, 7 mod 16 = 7 ; 47 mod 16 = 15 ; 647 mod 16 = 7 et 7647 mod 16 = 15.
Donc C = 7 ou 15 mod 16.
Mais C mod 16 = 6 ou 9 (rangs des "7" dans le développement). Il y a contradiction.
Si C se termine par 8, C ne peut être que 8, 58, 7058, etc. ou 8, 88, 588, etc.
Dans le premier cas, 8 mod 16 = 8 ; 58 mod 16 = 10 ; 7058 mod 16 = 2.
Donc C = 2, 8 ou 10 mod 16. Mais le rang des "8" est 12 +16 k. Il y a contradiction.
Dans le second cas, 8 mod 16 = 8 ; 88 mod 16 = 8 ; 588 mod 16 = 12.
Donc C = 8 ou 12 mod 16. Mais le rang des "8" est 13 + 16 k. Il y a contradiction.
Si C se termine par 9, C ne peut être que 9, 29, 529, 3529, etc.
Or 9 mod 16 = 9 ; 29 mod 16 = 13 ; 529 mod 16 = 1 et 3529 mod 16 = 9.
Donc C = 1, 9 ou 13 mod 16.
Mais C mod 16 = 2 (rang de "9" dans le développement). Il y a contradiction.
11 / 19 est chanceux car il a le coïncident 73684.
En effet : 11 / 19 = 0, 578947368421052631 578947368421052631 --- a une période de longueur 18.
Or 73684 mod 18 = 10 qui est précisément le rang de 73684 dans la période.
Question 3 :
Parmi nos constantes favorites : , e, 2 , 3, 5 quelles sont les chanceuses ? A tout seigneur tout honneur : = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
possède les coïncidents 315, 360, 384 et probablement une infinité d’autres.
e = 2, 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 --- a le coïncident 62.
2 = 1, 4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 --- a le coïncident 87.
Il n’y a pas besoin d’aller bien loin pour trouver le coïncident 5 de 3 = 1, 7320508075 --- 5 est chanceux avec 496 comme coïncident :
Question 4 :
Si l’on tire au hasard avec équiprobabilité les décimales c1 c2 c3 c4 --- de x = 0, c1 c2 c3 c4 --- Quelle est la probabilité p que x soit chanceux ?
P(x est chanceux) = 1 – P (x est malchanceux).
L’événement M = "x est malchanceux" implique l’événement A ci-dessous : c1 1 et c2 2 et c3 3 et --- et c9 9 et
x2, 11 11 et x2, 13 13 et x2, 15 15 et --- et x2, 99 99 et x3, 102 102 et x3, 105 105 et x3, 108 108 --- et x3, 999 999 et
x4, 1003 1003 et x4, 1007 1007 et x4, 1011 1011 --- et x4, 9999 9999 et etc.
A est la conjonction d’évènements indépendants, donc :
P (A) =
9 45 300 n 910n1/n 10
1 1 1000
1 1 100
1 1 10 1 1
P (M) P (A) donc P (x est chanceux) 1 – P (A).
Or n
n n
n n n
n e
9 , 0 / 9 , 0 10 1/
10 9
10 1 1 10
1 1
comme le montre le passage au logarithme , et en
sachant que ln (1 – t) – t pour t < 1. [Ici, t = 1 / 10n].
Ainsi P (A) ...)
... 1 3 1 2 1 1 ( 9 ,
0
n
e = 0 et donc P (x est chanceux) = 1.
Autrement dit, l’événement "x est chanceux" est certain dans le cadre d’un tirage aléatoire.
