Autrement dit, la fonction x

(1)

Universit´e Joseph Fourier L2 MAT233

2014-2015

Contrˆole de connaissance du 07 janvier 2015

Les documents sont autorisés. Cependant, tout appareil électronique est interdit. Lire attentivement l’ensemble des énoncés avant de répondre aux questions.

Premi`ere partie

Le but de cette partie est d’étudier l’équation de pendule. On considère une tige impondérable de longueur `, suspendue par une extrémité et portant à son autre extrémité un point de masse m. On désigne par x l’angle d’écart par rapport à la verticale.

`

mg x

L’accélération angulaire x⁰⁰(t) du pendule est proportionnelle au mo- ment de son poids. Autrement dit, la fonction x(.) satisfait à l’équation différentielle suivante

x⁰⁰(t) = −mg

` sin(x(t)),

oùgdésigne l’accélération normale de la pesanteur terrestre. Dans la suite, on désigne par λ la constante p

mg/`. L’´equation au-dessus devient

x⁰⁰(t) =−λ²sin(x(t)). (∗)

1. En introduisant la variable y = x⁰, transformer l’´equation (∗) en une

´

equation diff´erentielle d’ordre 1.

Solution.

x⁰(t) y⁰(t)

=

y(t)

−λ²sin(x(t))

.

(2)

2. On désigne par V l’ensemble des solutions de l’équation différentielle

ϕ⁰⁰(t) =−λ²ϕ(t). (∗∗)

Montrer que V est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Solution. C’est un cas particulier d’un th´eor`eme du cours.

3. V´erifier que les fonctionsf etg d´efinies comme

∀t∈R, f(t) = cos(λt) et g(t) = sin(λt) satisfont `a l´equation (∗∗).

4. Montrer que les fonctions f etg ne sont pas colin´eaires.

5. En d´eduire que toute solution de l’´equation (∗∗) est de la forme ϕ(t) =rsin(λt+θ),

où r et θ sont deux constantes réelles, r > 0. Montrer que la fonction ϕ est périodique de période 2π/λ.

Solution. D’après la question précédente, il existe (u, v)∈R² tel que ϕ(t) = ucos(λt) +vsin(λt).

On choisit r = √

u²+v² et θ ∈ R tel que (u, v) = (rsin(θ), rcos(θ)), alors ϕ(t) = rsin(λt+θ).

6. Soit x(.) une solution de l’´equation (∗) sur R. Montrer que la fonction 1

2x⁰(t)²−λ²cos(x(t)) est constante.

Solution. La d´eriv´ee de cette fonction estx⁰(t)x⁰⁰(t) +λ²sin(x(t))x⁰(t), qui est identiquement nulle.

Dans la suite, on suppose que le pendule est initialement placé à la position d’angle d’écartx₀ ∈]0, π/2[ et de vitesse initiale 0. On admet que l’équation (∗) a une unique solution x(.) sur R qui vérifie les conditions initialesx(0) =x₀ et x⁰(0) = 0.

7. Montrer que cos(x(t))>cos(x₀) pour tout t∈R. Solution. D’apr`es la question 6, on a

1

2x⁰(t)²−λ²cos(x(t)) =−λ²cos(x₀), d’o`u cos(x(t))>cos(x₀).

(3)

8. En déduire que|x(t)|6x₀pour toutt∈R. On peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

9. Montrer qu’il existe une constante ε > 0 tel que x⁰(t) < 0 pour tout t ∈]0, ε[. (Indiction :on peut v´erifier que la fonction x(.) prend valeurs dans ]0, π/2[ dans un voisinage de 0.)

Solution. Comme x(0) = x₀ ∈]0, π/2[ et comme la fonction x(.) est continue, il existe ε > 0 tel que x(t) ∈]0, π/2[ pour t ∈ [−ε, ε].

L’´equation (∗) montre que x⁰⁰(s) < 0 lorsque s ∈ [−ε, ε]. Donc pour tout t ∈]0, ε[, on a

x⁰(t) = x⁰(0) + Z t

0

x⁰⁰(s) ds <0.

10. Soit

T := inf{t >0|x⁰(t)>0}.

Montrer que

∀t∈[0, T[, x⁰(t) = −λp

2(cos(x(t))−cos(x₀)) et

t→Tlimx(t) =−x₀. En d´eduire que

T = x₀ λ√ 2

Z 1

−1

du

pcos(ux₀)−cos(x₀) <+∞

et que la fonction x(.) est périodique de période 2T (on peut montrer que la fonction x(.) dé efinie comme x(t) =e −x(t+T) vérifie aussi l’équation (∗) avec les mêmes conditions initiales). Que commentez- vous sur la dépendance de T du paramètre x0.

Solution. On ax⁰(t)≤0 lorsquet ∈[0, T[. Donc la premi`ere assertion provient imm´ediatement de la question 6. En outre, on a

t→Tlimx⁰(t) = 0

car sinon T = +∞etx⁰(t) est borné supérieurement par une constante strictement négative, qui implique que x(t) → −∞ lorsqu t → +∞

(contradiction avec la question 8). On en d´eduit

t→Tlimcos(x(t)) = cos(x₀).

(4)

Commex(t) est strictement d´ecroissante sur t∈]0, T[ etx(0) =x₀, on obtient

t→Tlimx(t) =−x₀. On int`egre la fonction

1 =− x⁰(t) λp

2(cos(x(t))−cos(x₀)) sur l’intervalle [0, T[ et obtient

T = Z x0

−x0

dy λp

2(cos(y)−cos(x₀)) = x₀ λ√ 2

Z 1

−1

du

pcos(ux₀)−cos(x₀). Enfin, la fonction y(t) = −x(t+T) v´erifie aussi l’´equation (∗) avec y(0) =x₀ ety⁰(0) = 0. On obtient alorsx(t) = −x(t+T) = x(t+ 2T).

Deuxi`eme partie

Dans cette partie, on considère un triangle ∆ =OAB inscrit dans un plan muni d’un système de coordonnées comme dans le graphe au-dessous.

On suppose que le point O est placé à l’orgine (0,0) du plan, et que les points A et B sont de coordonnées (a,0) et (b, c) respectivement, oùa, b etcsont des constantes telles que 0< b < aetc >√

ab−b² (de sorte que

∆ soit acutangle). On munit le plan de la norme k.k telle que k(x, y)k=p

x²+y².

Rappelons que si v = (x, y) est un vecteur non-nul dans le plan et si θ ∈[−π, π[ d´esigne l’angle entre v et l’abscisse Ox, alors on a

x

px²+y² = cos(θ) et y

px²+y² = sin(θ).

x y

O

B

A P

θ1

−θ2

θ3

(5)

Le but de cette partie est d’étudier le problème suivant. Étant donné un pointP dans le triangle ∆, quand est-ce que la somme des distances entre P et les trois sommets du triangle atteint son minimal ? Pour étudier ce problème, on introduit une fonction S définie sur l’intérieur U du triangle

∆ et `a valeurs dans R, qui envoie tout (x, y)∈U en S(x, y) = p

x²+y²+p

(x−a)²+y²+p

(x−b)²+ (y−c)². 11. Calculer les d´eriv´ees partielles

∂S

∂x et ∂S

∂y.

Solution. On a

∂S

∂x = x

px²+y² + x−a

p(x−a)²+y² + x−b

p(x−b)²+ (y−c)²,

∂S

∂y = y

px²+y² + y

p(x−a)²+y² + y−c

p(x−b)²+ (y−c)². 12. Montrer que la fonction S est de classe C¹ surU.

Solution. Les fonctions ∂S/∂x et∂S/∂y sont toutes continues sur U.

Donc S est de classeC¹ sur U.

13. Pour tout point P = (x, y) ∈ U, soient θ₁ = θ₁(x, y) l’angle entre les vecteursOP etOx,θ2 =θ2(x, y) l’angle entre les vecteursAP etOx, et θ₃ =θ₃(x, y) l’angle entre les vecteursBP etOx. Exprimer les d´eriv´ees partielles

∂S

∂x et ∂S

∂y en fonction de θ₁, θ₂ et θ₃.

Solution. On a

∂S

∂x = cos(θ1) + cos(θ2) + cos(θ3),

et ∂S

∂x = sin(θ₁) + sin(θ₂) + sin(θ₃).

(6)

14. On suppose que P ∈U est un point critique de la fonction S. Montrer que

cos(θ₁(P)) + cos(θ₂(P))2

+ sin(θ₁(P)) + sin(θ₂(P))2

= 1.

En d´eduire que cos(θ₂(P)−θ₁(P)) =−1/2.

Solution. La conditionDS(P) = 0 entraˆıne que (cos(θ₁) + cos(θ₂) + cos(θ₃) = 0,

sin(θ₁) + sin(θ₂) + sin(θ₃) = 0.

On en déduit aisément la première égalité. Pour la deuxième égalité, on exprime la partie du gauche de la première égalité sous la forme

2 cos(θ1) cos(θ2) + 2 sin(θ1) sin(θ2) + 2 = 2 cos(θ1−θ2) + 2.

Dans les questions suivantes, on étend la fonction S par continuité en une fonction continue définie sur tout le triangle ∆ =OAB.

15. Montrer que la fonctionS atteint son minimum sur ∆ en un point P0. Solution. La triangle ∆ est un sous-ensemble compact de R², et S :

∆→R est continue.

16. Soit Q= (b,0) la projection du point B sur le segment de droite OA.

Montrer que la restriction de la fonction S au segment de droite OA atteint son minimal en Q.

Solution. Tout point du segment de droite OA est de la forme (x,0) avec x∈[0, a]. On a

S(x,0) = x+ (a−x) +p

(x−b)²+c² =a+p

(x−b)²+c². Donc S(x,0)>S(b,0), et l’égalité est vérifiée si et seulement si x=b.

17. En utilisant le d´eveloppement de Taylor, montrer que S(b, ε) < S(Q) lorsque ε >0 est assez petit. En d´eduire que S(Q)> S(P₀).

Solution.

18. Montrer que P₀ appartient `a l’int´erieure U du triangle ∆.

Solution.

19. Montrer que θ₃(P₀)−θ₁(P₀) = θ₁(P₀)−θ₂(P₀) = 2π/3.

Solution.

20. En d´eduire que le point minimal P₀ de la fonction S est unique.

Solution.