M´ ETHODES ´ ENERG´ ETIQUES - EXERCICES
Allongement ´ elastique d’une barre
On consid`ere une barre ´elastique de section homog`ene S, de longueur L, et dont le mat´eriau poss`ede un module d’YoungE. Cette barre est soumise `a une traction par d´eplacement d’une de ses extr´emit´es d’une quantit´e U, l’autre restant fixe. On se limitera `a l’´etude des ´etats de contrainte uniaxiaux, de sorte que la contrainte de traction dans la barreσsera reli´ee `a sa d´eformation
²= ∂u∂x sous la forme σ =E² (voir figure 1).
0
L
x
Fig. 1 – Sch´ematisation d’une barre ´elastique
– Montrer qu’un champ de d´eplacement de la forme u(x) = U(xL)n avec n ≥ 1 est cin´ematiquement admissible. En postulant un tel champ, calculer l’´energie potentielle de la barre Πp, param´etr´ee parn. Calculer la forme du champ de d´eplacement qui minimise cette ´energie.
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– Montrer qu’un champ de contrainte de la forme σ =σ0, o`u σ0 est une constante, est statiquement admissible. En postulant un tel champ, calculer l’´energie compl´ementaire de la barre Πc, param´etr´ee par σ0. Calculer la valeur de σ0 qui rend maximale cette ´energie.
– Montrer que l’on a toujours Πp(n) ≥ Πc(σ0), et que ces deux ´energie co¨ıncident lorsqu’elles sont rendues extr´emale. En d´eduire la rigidit´e r´eelle de la barre K.
Traction ´ elastique d’une barre
On consid`ere une barre ´elastique de section homog`ene S, de longueur L, et dont le mat´eriau poss`ede un module d’Young E. Cette barre est soumise `a une traction par application d’une force F `a l’une de ses extr´emit´es, l’autre extr´emit´e restant fixe. On se limitera `a l’´etude des ´etats de contrainte uni- axiaux, de sorte que la contrainte de traction dans la barre σ sera reli´ee `a sa d´eformation ²= ∂u∂x sous la forme σ =E² (voir figure 1).
– Montrer qu’un champ de d´eplacement de la forme u(x) = U(xL)n avec n ≥ 1 est cin´ematiquement admissible. En postulant un tel champ, calculer l’´energie potentielle de la barre Πp, param´etr´ee parU et n.
– Calculer la forme du champ de d´eplacement qui minimise l’´energie po- tentielle de la barre.
Barre sous son propre poids
Une barre de section homog`eneS, de longueurL, et de module d’YoungE, est soumise `a son propre poids (masse volumique ρ, acc´el´eration de la pesanteur g). Elle est fix´ee `a son extr´emit´e sup´erieure. On se limitera `a l’´etude des ´etats de contrainte uniaxiaux, de sorte que la contrainte de traction dans la barre σ sera reli´ee `a sa d´eformation ² = ∂u∂x sous la forme σ = E². On postule un champ de d´eplacements dans la barre sous la forme u(x) =ax2+bx+c, o`u a, b et c sont des constantes, et un champ de contraintes σ(x) = Ax+B, o`u A et B sont des constantes. On se place dans l’hypoth`ese des petites perturbations, et on n´eglige les effets d’inertie.
2
L 0
x
– D´eterminer la constantecpour que le champu(x) soit cin´ematiquement admissible. Calculer l’´energie potentielle de la barre Πp, param´etr´ee par a et b. D´eterminer les valeurs de a et b qui minimisent cette ´energie.
– D´eterminer les constantes A et B pour que le champ σ(x) soit stati- quement admissible. En d´eduire l’´energie compl´ementaire de la barre Πc.
– Montrer `a l’aide de crit`eres ´energ´etiques que les champs obtenus u(x) et σ(x) sont exacts.
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