Considérons une barre AB soumise en A et B à des forces égales et opposées F et -F portées par l’axe AB.

Considérons une barre AB soumise en A et B à des forces égales et opposées F et -F portées par l’axe AB.

En coupant la barre AB en C

A

B

C

F

-F

C -F A

et en traçant le diagramme des corps libres pour la portion AC, nous pouvons conclure que les forces internes qui existent en C dans la barre AB sont équivalentes à une force axiale -F égale et

opposée à F.

Attention, pour un « corps à deux forces » qui n’est pas droit, les forces internes se réduisent à

système de force-couple et non à

EFFORTS DANS LES POUTRES

D

J

T

M

F

V

Considérons un « corps multi-forces » AD, et coupons le en J, et traçons le

diagramme des corps libres pour la portion JD, nous pouvons en conclure que les forces internes en J sont

équivalentes à un système de force- couple constitué d’une force axiale F, d’une force de cisaillement V (noté aussi T), et d’un couple M.

A B C

D

J

C

C

A

A

T

F

L’intensité de la

force de cisaillement mesure le cisaillement au point J, et le moment du couple est appelé le moment de flexion en J.

Comme un système force-couple égal et opposé devrait être obtenu à partir d’un diagramme des corps libres pour la

portion AJ, il est nécessaire de spécifier quelle portion de l’élément AD a été utilisé quand on présente les résultats.

D

J

T

M F

V

A B C

D

J

C

C

A

T

F

Problème 7.1

Pour le cadre présenté à gauche, déterminer

les forces internes (a) dans le membre ACF

au point j ,(b) dans le membre BCD au point

K.

Problème 7.1

1. D’abord, réaliser le diagramme des corps libres, pour le corps en entier ⇒F, E

, E

. 2. Le diagramme des corps libres pour le

membre ABE ⇒ C

, B

.

3. Le diagramme des corps libres pour le membre BCD ⇒ B

, A

, A

.

4. Encore le diagramme des corps libres pour le membre BCD ⇒ C

Seul les résultats sont présentés

Problème 7.1

Les forces internes en J : le membre ACF est coupé en J. Les forces internes sont

représentées par un système force-moment, qui peut être déterminé en considérant

l’équilibre de part et d’autre.

Si on considère le corps libre AJ, on écrit :

Le système force-moment interne de JCF, sera égal et opposé.

Problème 7.1

Les forces internes en K : le membre BCD est coupé en K. Les forces internes sont

représentées par un système force-moment, qui peut être déterminé en considérant

l’équilibre de part et d’autre.

Si on considère le corps libre BK, on écrit :

Le système force-moment interne de KCD, sera égal et opposé.

Les poutres sont généralement longues et fines, conçues

pour supporter des chargement appliqués à différents points.

En général, les chargements sont perpendiculaires à l’axe de la poutre et produisent seulement du cisaillement et de la flexion dans la poutre.

Les chargements peuvent être concentrés à des points spécifiques, ou répartis sur une toute la longueur ou une portion de la poutre.

La poutre peut aussi être liée de différentes façons.

Seules des poutres statiquement déterminées sont ici

considérées : nous limitons donc notre analyse à des poutres posées sur des supports, des poutres articulées et sur

supports et des poutres cantilever.

Classification des supports de poutre

Poutres : cas isostatiques

Poutres : cas hyperstatiques

Appuis simples Cas surplombant

sur appuis & articulation

Cantilever (Encastrement)

Appuis multiples Encastrement et

appuis

Encastrement double

Diagrammes des efforts intérieurs ( cisaillement et moment )

• La détermination des contraintes normales et cisaillantes impliquent l’identification de la force de cisaillement et le moment de flexion internes maximum.

• la force de cisaillement et le moment de flexion sont déterminés en un point en passant une section virtuelle à travers la

poutre et en appliquant l’analyse d’équilibre sur les deux portions de poutres séparés par cette section.

• Les conventions de signes pour les forces de cisaillement V et V’ et les moments de

flexion M et M’

Forces internes

Problème 5.1

Pour une poutre en bois et un

chargement comme indiqués ci-dessus et tracer les diagrammes des efforts intérieurs.

SOLUTION:

• Considérer la poutre entière comme un corps rigide et déterminer les forces de réaction.

• Identifier le cisaillement et le moment maxi à partir de leur courbes de distribution.

• Couper virtuellement la poutre près des supports et des points de

chargements. Appliquer l’analyse de l’équilibre sur les corps libres résultants pour déterminer les forces de cisaillement et les moments de flexion internes.

• Couper virtuellement la poutre et appliquer l’analyse de l’équilibre sur les corps libres SOLUTION:

• Considérer la poutre entière comme un corps rigide et déterminer les forces de réaction

∑ = 0 = ∑ : = 40kN =14kN fromde F_y M_B R_B R_D

Problème 5.1

• Identifier le cisaillement et le moment maxi à partir de leur courbes de distribution.

+

-26 kN

+20 kN +14 kN

Problème 5.1

Les relations entre le chargement, le cisaillement et le moment de flexion

• Les relations entre le chargement et le cisaillement :

• Les relations entre le cisaillement et le moment de flexion :

( )

( )

1 2

0 : 0

C 2

M M M M V x w x x

M V x w x

′

= + Δ − + Δ + Δ Δ =

Δ = − Δ − Δ

∑

( )

0 : 0

Fy V V V w x V w x

= + Δ − − Δ = Δ = + Δ

∑

D

C

x

D C

x

dV w dx

V V w dx

= +

− = +

∫

xD

D C

dM V dx

M M V dx

= −

− = −

∫

!! Ici w est négatif

Problème 5.3

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs pour le

cisaillement et le moment pour le chargement montré ci-

dessus.

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions en A et D.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

89 kN 53 kN 19 kN/m

2m 2,5m 3m 2,5m

Problème 5.3

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions en A et D.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour le diagramme du cisaillement

dx w dV

dx w

dV = − = −

- Pente nulle entre les charges concentrées - Variation linéaire sur le segment de

+

89 kN 53 kN

47,5 kN

2m 2,5m 3m 2,5m

1,25m

89 kN 53 kN 19 kN/m

89 kN

110,95 kN 78,55 kN

-78,55 78,55 kN

10,45

47,5 V kN

Problème 5.3

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

dx V dM

dx V

dM = − = −

- Le moment de flexion en A et E est nul

- Le total de tous les changements de moment - La variation du moment est égale aux

surfaces issues des parties sous cisaillement - La variation du moment de flexion entre

D et E est quadratique

- La variation du moment de flexion entre A, B, C et D est linéaire

+

89 kN 53 kN 19 kN/m

110,95 kN 78,55 kN

-78,55

10,45

63,45

47,5 V kN

M kN.m 157,1

130,97

Problème 5.5

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs pour le cisaillement et le moment pour le chargement montré ci-dessus.

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier

comme étant un corps libre, déterminer les réactions C.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour

obtenir le digramme du moment de flexion.

Problème 5.5

SOLUTION:

• En considérant la poutre en entier comme étant un corps libre, déterminer les réactions C.

Les résultats de l’intégration du chargement et de la distribution du cisaillement devraient être équivalents.

• Appliquer les relations entre le cisaillement et le chargement pour obtenir le diagramme du cisaillement intérieur.

+

Problème 5.5

• Appliquer les relations entre le moment de flexion et le cisaillement pour obtenir le diagramme du moment de flexion.

Les résultats en C sont compatibles avec l’analyse des corps libres.

+