fD1843. Un bel alignement
Soit un triangle scalène ABC. Le cercle de centre C et de rayon CA coupe la droite [AB] en un deuxième point D et le cercle de centre B et de rayon BA coupe la droite [AC] en un deuxième point E.
On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que la droite [PE] coupe ce même cercle en un deuxième point G.
Les droites [BF] et [CG] se rencontrent en H, les droites [DE] et [FG] se rencontrent en I et les droites [AG] et [EH] se rencontrent en J.
Q Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.₁ Q Démontrer que les trois points B,I et J sont alignés₂ .
On suppose que le cercle ABC est le cercle unité, les affixes des points A, B, C sont les trois nombres complexes a, b, c de module un. On peut calculer les affixes de tous les points cités en fonction de a, b, et c.
Q1) d = b+c – ab/c e = b+c – ac/b p = b+c – bc/a f = a+b+c – (b +c)b/a f – b = (a – b)(a+b+c)/a g = a+b+c – (b +c)c/a g – c = (a – c)(a+b+c)/a
(f−b)
(g−c)=(a−b)
(a−c) ce qui implique l'égalité d'angles (GC,FB) = (AC,AB), ou (HC,HB) = (AC,AB) H est donc sur le cercle (ABC).
On peut aussi calculer h sachant que (h-b)/(h-f) et (h-c)/(h-g) sont réels on trouve h = (bc(a+b+c)) (ab+bc+ca)
¿ En remplaçant a, b, c par leurs conjugués 1/a, 1/b, 1/c on trouve ̄h=(ab+bc+ca)
(bc(a+b+c)) puis ̄h * h = 1 Donc H est sur le cercle (ABC).
Q2) En exprimant que (i – d)/(i – e) et (i – f)/(i – g) sont réels, on trouve i = (a3+a2(b+c)−a(b2+bc+c2)+bc(b+c))
(a2+bc) puis i – b = ((a−b)(a2+ab+ac−c2)) (a2+bc)
En exprimant que (j – a)/(j – g) et (j – e)/(j – h) sont réels, on trouve j = (a3+a2(b+c)−ac2+bc(b+c)) ((a+b)(a+c))
puis j – b = ((a−b)(a2+ab+ac−c2)) ((a+b)(a+c)) ,
Les numérateurs sont les mêmes dans (i-b) et (j-b), d'où (i−b)
(j−b)=((a+b)(a+c)) (a2+bc)
Cette expression n'est pas modifiée lorsqu'on remplace a, b, c par 1/a, 1/b, 1/c donc elle est réelle, et cela confirme l'alignement des points B, I, J .
