Universit´e Paris 7-Denis Diderot G´eom´etrie
Licence d’enseignement Ann´ee 2001-02
C. Leruste, L. Merel
EXAMEN du 6 juin 2002 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Exercice 1
Observons un ballon de football, d’un point de vue math´ematique. Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Soit S une sph`ere de E de centre O et de rayon R. Soit F un ensemble de soixante points surS. On appelleisom´etrie de F une isom´etrie de E qui laisse stable l’ensemble F. On note dla distance minimale entre deux points distincts deF. L’observation du ballon se traduit par les hypoth`eses suivantes.
H1. Pour tout (P1, P2) ∈ F2, il existe une isom´etrie f de F telle que f(P1) = P2 (on le constate en manipulant le ballon).
H2. Pour tout pointP deF, il y a exactement trois pointsP0,Q,R∈F `a distanceddeP ; ces points sont tels que les triplets (resp. le triplet) (P0, P, Q) et (P0, P, R) (resp. (Q, P, R)) soient trois sommets cons´ecutifs d’un hexagone (resp. pentagone) r´egulier de cot´edet `a sommets dansF. On appelle faces hexagonales et faces pentagonalesdeF de tels polygones. On appelle arˆeteles segments [P, P0], [P, Q] et [P, R].
H3. Dans les conditions de l’hypoth`eseH2, la sym´etrie orthogonales{P,P0} par rapport au plan (OP P0) et la sym´etrie centralesO par rapport `a Osont des isom´etries deF.
1.a D´emontrer que l’ensemble des isom´etries deF est un groupe not´e Isom(F).
1.b. SoitP0∈F. D´emontrer que l’applicationφ: Isom(F)→F qui `a f associef(P0) est surjective.
1.c. En d´eduire que l’ordre de Isom(F) est 60 multipli´e par le nombre d’isom´etries f de F telles que f(P0) =P0.
2. Combien y a-t-il de faces hexagonales et de faces pentagonales deF ? 3. D´emontrer queO est le barycentre des points deF.
4. Soitf un d´eplacement deF. 4.a. D´emontrer que f(O) =O.
4.b. En d´eduire quef est une rotation ou l’identit´e.
5. Soit f une isom´etrie deF et P un point deF tels que f(P) =P. On consid`ere les pointsP0,Q,R∈F comme ci-dessus.
5.a Montrer quef laisse stable l’ensemble{P0, Q, R}.
5.b. En d´eduire quef est l’identit´e ou f =s{P,P0}. 6.a. Combien y a-t-il d’isom´etries deF ?
6.b. Combien y a-t-il de d´eplacements parmi ces isom´etries ? 7. Soitf une rotation deF.
7.a Si f laisse stable l’ensemble des sommets d’une face hexagonale (resp. face pentagonale) de F de barycentreC, d´emontrer que l’axe def est la droite (O, C).
7.b. Sif laisse stable les deux extr´emit´es d’une arˆete, quel est l’axe def ? Quelle est sa mesure ? 7.c Indiquer sans d´emonstration quels sont les d´eplacements de F.
Exercice 2
SoitP un plan affine euclidien de directionP. SoitCun cercle deP de centreO. Soient deux pointsA et B de C, distincts et non diam´etralement oppos´es. PosonsD= (AB). NotonsD0 la droite parall`ele `a D passant parOet les pointsU etV d’intersection deD0 etC. Consid´erons le cercleC0 sym´etrique orthogonal deC par rapport `aD; notonsO0 le centre de C0.
1.a. Montrer qu’il existe un unique vecteur−→u ∈P tel queC0 soit l’image deC par la translationt−→u. 1.b. Posons E=t(−−→u)(A) etF =t(−−→u)(B). Montrer queE et F sont des points deC. Que peut-on dire du quadrilat`ereABF E ?
2. Soit M un point de C distinct de A, B, E, F. On poseN =t−→u(M). Montrer que D est la hauteur du triangleAM N issue deA.
3. On noteQle sym´etrique orthogonal deN par rapport `aD.
3.a. Montrer queN est un point deC0 et que Qest un point deC.
3.b. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)Q=M ;
(ii)le quadrilat`ereOO0N M est un rectangle ; (iii)M =U ouM =V.
4.a. Comparer les angles de vecteursQABd etBANd .
4.b. Comparer les angles de droitesAQ, ABd et M Q, M Bd lorsqueQ6=M.
4.c. Montrer que l’´egalit´e d’angles de droites AB, ANd = M N, M Bd a lieu dans tous les cas (que l’on ait Q=M ouQ6=M).
5.a Montrer que les droites (AN) et (BM) sont perpendiculaires.
5.b Montrer que les droites (AM) et (BN) sont perpendiculaires.
6. Que se passe-t-il siM ∈ {A, B, E, F} ?
