Exercice 1. Soit T et F deux sous-catégories pleines d’une catégorie abélienne A. On dit que (T , F ) est une paire de torsion si les conditions suivantes sont satisfaites :

TD n

^◦

3 : t-structures

Faisceaux Pervers– M2 Mathématiques Fondamentales

Théories de torsion

Exercice 1. Soit T et F deux sous-catégories pleines d’une catégorie abélienne A. On dit que (T , F ) est une paire de torsion si les conditions suivantes sont satisfaites :

(a) Hom

A

( T , F ) = 0 pour tout T ∈ T et F ∈ F ; (b) tout objet M de A s’inscrit dans une suite exacte

0 → T ( M ) → M → F ( M ) → 0 avec T ( M ) ∈ T et F ( M ) ∈ F.

Montrer que cette suite exacte est unique et fonctorielle, c’est-à-dire que M ∈ A 7→ T ( M ) ∈ T et M ∈ A 7→ F ( M ) ∈ F sont des foncteurs.

Exercice 2. Soit C une catégorie triangulée. Soit ( D

^≤0

, D

^≥0

) une t - structure de coeur M et H

⁰

: C → M le foncteur cohomologique associé.

Étant donnée une paire de torsion (T , F ) sur M, on définit e

D

^≤0

={ X ∈ D

^≤1

| H

¹

( X ) ∈ T } e

D

^≥0

={ X ∈ D

^≥0

| H

⁰

( X ) ∈ F }.

Montrer que ( D e

^≤0

, D e

^≥0

) est une t -structure sur C.

Exercice 3. Soit A = Z -mod la catégorie des groupes abéliens de type fini.

On considère les sous-catégories pleines T (resp. F ) formée des groupes de torsion (resp. des groupes libres).

(i) Montrer que (T , F ) est une paire de torsion.

(ii) Montrer que les sous-catégories triangulées D e

^≥0

et D e

^≤0

sont les images de la t -structure standard ( D

^≤0

, D

^≥0

) par D = R Hom(−, Z ).

Exercice 4. Soit k un corps, A une k -algèbre symmétrique de dimension finie et A = A -mod.

On fixe un sous-ensemble S ⊂ Irr

k

A et on considère la sous-catégorie pleine T de A dont les facteurs de composition sont dans S.

(i) Quels sont les A -modules M vérifiant Hom

A

(T , M ) = 0 ? Vérifier qu’ils forment une sous-catégorie pleine de A qu’on notera F .

(ii) Montrer que (T , F ) est une paire de torsion.

(iii) Pour S ∈ Irr

k

A r S on définit le module S e comme le plus grand sous-module de P

_S

(enveloppe projective de S ) tel que e S / S ∈ T . On considère alors, pour S ∈ Irr

k

A

Θ ( S ) =

S [−1] si S ∈ S, e

S [0] sinon.

Montrer que

• Θ ( S ) appartient au coeur de la t -structure associée à (T , F ).

• Hom

D^b(A)

( Θ ( S ), Θ ( T )) ≃ Hom

A

( S , T ).

(iv) Construire de manière équivalente, pour chaque S ∈ Irr

^k

A , l’enve- loppe projective Θ ( P

_S

) de Θ ( S ) dans le coeur de la t -structure asso- ciée à (T , F ).

(v) Plus généralement, montrer que Θ se prolonge en une auto- équivalence de D

^b

(A) envoyant A sur le coeur de la t -structure asso- ciée à (T , F ).

t-structures de faisceaux

Exercice 5. Soit X = P

₁

. On considère la sous-catégorie pleine C de D

^b

( X , C ) formée des complexes de faisceaux dont la cohomologie est constante.

(i) Montrer que C est une sous-catégorie triangulée de D

^b

( X ).

(ii) Montrer que le coeur M de la t -structure naturelle de D

^b

( X ) res- treinte à C est équivalent à C -mod.

(iii) En déduire que D

^b

(M) 6= C [

Hint : on pourra calculerHom(CX,CX[−2])dans C et dansD^b(M)

].

Exercice 6. Soit X = P

₁

stratifié par X = {0} ∪ C . Pour m ∈ Z , on note M

m

le coeur de la t -structure obtenue en recollant les t -structures naturelles de coeur Loc({0}) et Loc( C )[ m ].

Université Paris Diderot

TD n

^◦

3 : t-structures

Faisceaux Pervers– M2 Mathématiques Fondamentales

(i) Montrer que M

0

est la catégorie des faisceaux constructibles sur X (pour la stratification fixée).

(ii) Montrer que M

2

s’obtient comme l’image de M

0

par la dualité de Verdier. Décrire les objets simples.

(iii) Décrire les objets simples de M

1

.

(iv) Montrer que pour m ∈ {0, 1, 2}, la catégorie / M

^m

est semisimple.

Université Paris Diderot