MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 15 pour le 06/04/18 29 juin 2019
On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique du R-espace vectoriel des polynômes à coe- cients réels de degré inférieur ou égal à 2 noté R 2 [X ] . Lorsque P et Q sont deux polynômes et a un réel, le polynôme P b (Q) est obtenu en substituant Q à X dans l'expression de P . Le réel P e (a) est obtenu en substituant a à X dans l'expression de P .
On dénit
1les deux applications suivantes : f :
R 2 [X ] → R 2 [X]
P → 1 2 h
P( b X
2 ) + P b ( X + 1
2 ) i ϕ :
( R 2 [X ] → R P → P e (1)
On rappelle aussi que l'on note f 0 = Id
R2[X] et, pour tout n ∈ N
∗, f
n= f ◦ f
n−1.
Partie I.
1. Vérier que f est bien à valeurs dans R 2 [X ] et montrer que f est linéaire.
2. Montrer que ϕ est linéaire.
3. Écrire la matrice de f dans la base B de R 2 [X ] . 4. L'application f est elle injective ? surjective ?
5. Déterminer une base de ker ϕ . Quelle est la dimension de ker ϕ ? 6. L'application ϕ est-elle injective ? surjective ?
Partie II
On considère la matrice A ∈ M 3 ( R ) et la famille B
0de R 2 [X ] :
A =
1 1
4 1 8
0 1
2 1 4
0 0 1
4
B
0= 1, −2X + 1, 6X 2 − 6X + 1
1. Écrire la matrice de ϕ dans les bases canoniques de R 2 [X ] et R. On notera L cette matrice.
2. a. Justier que la famille B
0est une base de R 2 [X ] . b. Écrire la matrice de passage Q de B à B
0.
1
d'après Épreuve toute lière du concours commun 2009 des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes
c. Justier que Q est inversible et calculer son inverse.
3. a. Écrire la matrice D de f dans B
0.
b. Pour tout n ∈ N, exprimer A
nen fonction de puissances de Q et D .
c. Pour tout n ∈ N, exprimer, dans les bases canoniques de R 2 [X ] et R, la matrice de l'application de R 2 [X] dans R dénie par :
P 7→ ϕ(f
n(P)) en fonction de L et de puissances de Q et D . 4. Montrer que
∀P ∈ R 2 [X] : (ϕ(f
n(P )))
n∈N
→ Z 1
0
P(t)dt e
Partie III
1. Montrer que :
∀P ∈ R 2 [X], ∀n ∈ N : f
n(P) = 1 2
n2
n−1X
k=0
P b ( X + k 2
n)
2. En déduire une deuxième démonstration (indépendante de celle de la partie II) de
∀P ∈ R 2 [X ] : (ϕ(f
n(P )))
n∈N
→ Z 1
0
P(t)dt e Ce résultat est-il toujours valable sans restriction sur le degré ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
