MA202 – Test 20 points – dur´ee 1h30 Bar`eme approximatif : 2 points par question

MA202 – Test

20 points – dur´ ee 1h30

Bar` eme approximatif : 2 points par question

Exercice 1 On consid`ere l’application lin´eaire f : R<sup>4</sup> → R<sup>4</sup> d´efinie de la mani`ere suivante :

f(x, y, z, t) = (4x−2y+z−2t,2x−y+z−t,2z,2x−y+z−t).

On note Bc = (e₁, e₂, e₃, e₄) la base canonique de R⁴. Rappelons que l’on a e₁= (1,0,0,0),e₂= (0,1,0,0),e₃= (0,0,1,0) ete₄= (0,0,0,1).

1. Donner la matrice M = Mat^B_B^c

c(f)def dans la baseBc. 2. Donner une base du noyauKer(f)def.

3. Donner une base de l’image Im(f) def.

Exercice 2 On consid`ere l’application lin´eaire f : R<sup>4</sup> → R<sup>4</sup> d´efinie de la mani`ere suivante :

f(x, y, z, t) = (5x−4y−3t,3x−2y−3t, x−y−z−t,4x−4y−2t).

On note Bc = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R⁴. Rappelons que l’on a e1= (1,0,0,0),e2= (0,1,0,0),e3= (0,0,1,0) ete4= (0,0,0,1).

1. Donner la matrice M = Mat^B_B^c

c(f)def dans la baseBc. 2. Montrer que M est inversible et donner son inverse.

3. Soient u₁ = (1,1,1,1),u₂ = (0,0,1,0), u₃ = (1,1,0,0), u₄ = (1,0,0,1).

On consid`ere la famille B= (u₁, u₂, u₃, u₄). Montrer que B est une base deR⁴.

4. Donner la matrice P_Bc,B= Mat^B_B^c(Id) de changement de base deBc vers B.

5. Donner la matrice P_B,Bc = Mat^B_Bc(Id) de changement de base deB vers Bc.

6. Donner la matrice N = Mat^B_B(f)def dans la baseB. 7. Montrer que N est inversible et donner son inverse.