E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 ´EpisodeIV:Matrices

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2

^`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2014/2015

´Episode IV : Matrices

E ^XERCICE 1

Soit u l’application de R

³

dans R

⁴

d´efinie par

u(x, y, z) = (−x + y, x − y, −x + z, −y + z).

1. Montrer que u est lin´eaire

2. Soient {E

¹

, E

²

, E

³

} la base canonique de R

³

et {F

¹

, F

²

, F

³

, F

⁴

} la base canonique de R

⁴

. Calculer u(E

¹

), u(E

²

) et u(E

³

) en fonction de F

¹

, F

²

, F

³

et F

⁴

.

3. ´Ecrire la matrice de u dans les bases canoniques.

4. Montrer que {F

¹

, F

²

, u(E

¹

), u(E

²

)} est une base de R

⁴

.

5. ´Ecrire la matrice de u dans les bases {E

1

, E

2

, E

3

} et {F

1

, F

2

, u(E

1

), u(E

2

)}.

E ^XERCICE 2

On consid`ere l’application lin´eaire f de R

³

dans R

⁴

d´efinie par

f (x, y, z) = (x + z, y − x, z + y, x + y + 2z).

1. Calculer les images par f des vecteurs de la base canonique (e

1

, e

2

, e

3

) de R

³

. En d´eduire une base de Im(f ).

2. D´eterminer une base de ker(f ).

3. L’application f est-elle injective ? surjective ?

E XERCICE 3

Soit S l’ensemble des solutions du syst`eme :







x + y + z = 0 x + 52y + 37z = 0 31x + 1287y + 389z = 0

.

S est-il un sev de R

³

? En est-il de mˆeme pour l’ensemble des solutions de n’importe quel syst`eme lin´eaire ?

E XERCICE 4

On consid`ere les deux matrices suivantes :

A =









2 3 −4 1 5 2 1 0 3 1 −6 7 2 4 0 1









B =









3 −1 −3 7

4 0 2 1

2 3 0 −5

1 6 6 1









1. Calculer AB.

2. Calculer BA.

3. Calculer A

²

− B

²

. Que remarque-t-on ?

E XERCICE 5

Soit A =





0 1 1 1 0 1 1 1 0



 . Montrer que A

²

= A + 2I

3

. En d´eduire que A est inversible et calculer son inverse.

E XERCICE 6

Soit A =





1 0 2 0 −1 1 1 −2 0



 . Calculer A

³

− A. En d´eduire que A est inversible puis d´eterminer A

⁻¹

.

E XERCICE 7

Soit A =





2 −1 2 5 −3 3

−1 0 −2



 . Calculer (A + I

3

)

³

. En d´eduire que A est inversible puis d´eterminer A

⁻¹

.

E XERCICE 8

D´eterminer le rang et le d´eterminant des matrices suivantes :

A =





3 1 1

1 0 2

−1 2 −12



 B =





2 4 2 0 1 1 2 2 −1



 C =





1 2 1

−1 0 1 3 2 2



 D =









2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1









E ^XERCICE 9

Calculer le d´eterminant des matrices suivantes :

A =





1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b



 B =









1 1 1 1

a b c d

a

²

b

²

c

²

d

²

a

³

b

³

c

³

d

³









E XERCICE 10

Calculer sous forme factoris´ee les d´eterminants suivants :

a)

0 a b a 0 c b c 0

b)

a b c c a b b c a

c)

a + b b + c c + a a

²

+ b

²

b

²

+ c

²

c

²

+ a

²

a

³

+ b

³

b

³

+ c

³

c

³

+ a

³

E XERCICE 11

On consid`ere une matrice A = (a

ij

) de M

n

(K) telle que a

ij

= 0 si j ≤ n − i. Cela signifie que A est de la forme :















0 · · · · · · 0 a

1,n

0 0 a

2,n−1

a

2,n

.. . .. .

0 a

n−1,2

a

n−1,n

a

n,1

· · · an, n















Calculer son d´eterminant.

E ^XERCICE 12

Soit A = a b

c d

∈ M

²

(R).

1. V´erifier l’´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton en dimension 2) : A

²

− tr(A)A + det(A)I

²

= 0 2. Soit B =

d −b

−c a

. Montrer que pour toute matrice A, on a : AB = BA = det(A)I

²

. 3. En d´eduire que A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0 et que dans ce cas :

A

⁻¹

= 1 det(A)

d −b

−c a