Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un K -espace vectoriel E et U = (e 1 , e 2 , e 2 + e 3 ) . Exprimer les matrices de passage de B dans U et de U dans B .

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires

1.

^(Emf01)

Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un K -espace vectoriel E et U = (e 1 , e 2 , e 2 + e 3 ) . Exprimer les matrices de passage de B dans U et de U dans B .

2.

^(Emf02)

Soit n un entier naturel non nul, on dénit une matrice A = (a ij ) (i,j)∈{1,...,n+1}

²

par

a _ij = j−1

i−1

si i ≤ j 0 si i > j

Préciser l'endomorphisme de R n [X ] dont la matrice dans (1, X, · · · , X ⁿ ) est A . Préciser la matrice inverse.

3.

(Emf03)

Soit E = (e ₁ , e ₂ , · · · , e _n ) une base d'un K -espace vectoriel E et E ⁰ = (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , · · · , e ⁰ _n ) avec

e ⁰ _i = e 1 + e 2 + · · · + e i .

Montrer que E ⁰ est une base de E et préciser les matrices de passage P _EE

⁰

et P _B

⁰

_B .

4.

^(Emf04)

Soit E = R n [X] , B = (1, X, · · · , X ⁿ ) . Déterminer la matrice de

P → Z 1

0

P (t)dt dans les bases B et (1) .

5.

^(Emf05)

Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un K -espace vectoriel E , C = (e 2 , e 3 , e 1 ) , f ∈ L(E) avec

Mat B f =





a a ⁰ a ⁰⁰ b b ⁰ b ⁰⁰ c c ⁰ c ⁰⁰



 Quelle est la matrice de f dans C ?

6.

^(Emf06)

Autour des racines carrées de matrices 2 × 2 . a. Résoudre l'équation X ² = A d'inconnue X dans

M ₂ ( R ) pour les matrices A suivantes :

A = 9 0

4 9

, A = 1

4 1 0

4 9

.

b. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2 , soit E = (e 1 , e 2 ) une base de E , soit f ∈ L(E) tel que :

Mat E f = 1 1

1 1

.

Soit V = (e ₁ , e ₁ + e ₂ ) . Déterminer Mat _V f et préci- ser les matrices de passage.

c. Résoudre l'équation

X ² + X = 1 1

1 1

d'inconnue X ∈ M 2 ( R ) . On pourra ajouter ¹ ₄ I 2 et se ramener à l'aide de la question b. à la deuxième équation de la question a.

7.

^(Emf07)

Soit A ∈ M 2 (K) . On note f l'endomorphisme de M 2 (K) déni par f (X) = AX . Former la matrice de f dans la base canonique

(E 1,1 , E 1,2 , E 2,1 , E 2,2 ) de M 2 (K) . Quelle est sa trace ?

Généraliser en montrant que pour la multiplication des matrice n × n , la trace est n tr A .

8.

^(Emf08)

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, soit f ∈ L(E) telle que f ² = f ³ . Montrer qu'il existe une base U de E telle que

Mat U f ∈

0 _M

₃

( R ) , I 3 , A, B, C, D avec

A =





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 B =





1 0 0 0 1 0 0 0 0





C =





0 1 0 0 0 0 0 0 1



 D =





0 0 1 0 0 0 0 0 0





9.

^(Emf09)

Soit f l'endomorphisme d'un K -espace vectoriel E représenté dans une base B = (e 1 , e 2 , · · · , e n ) par la matrice







α β · · · β β ... ... ...

... ... ... β β · · · β α







Écrire la matrice de f dans la base U = (u ₁ , u ₂ , · · · , u _n ) avec u _i = e ₁ + e ₂ + · · · + e _i .

10.

^(Emf10)

Soit A ∈ M 3,2 ( R ) , B ∈ M 2,3 ( R ) et

AB =





0 −1 −1

−1 0 −1

1 1 2





Montrer que AB est la matrice d'un projecteur dont le rang est 2. Montrer que BA = I 2 .

11.

^(Emf11)

Soit E un K -espace de dimension nie et π un projecteur. Comparer rg(π) et tr(π) .

Montrer que, si u ◦ u = pu , alors ¹ _p u est un projecteur ( u ∈ L(E) , p ∈ R ^∗ )

Soit {f 1 , · · · , f p } une partie de GL(E) stable pour ◦ . Montrer que

p

X

i=1

tr(f _i ) ≡ 0 mod p

12.

^(Emf12)

Soit H le plan de R ³ formé par les (x, y, z) tels que

x − 2y + z = 0

Calculer la matrice dans la base canonique de R ³ de la projection sur H parallélement à Vect(u) avec

u = (1, 0, 1) 13.

^(Emf13)

Triangularisation

On admet le résultat suivant :

Pour tout C-espace vectoriel E de dimension nie et tout f ∈ L(E) , il existe x non nul dans E et un nombre complexe λ tels que

f (x) = λx Montrer le résultat suivant :

Pour tout C-espace vectoriel E de dimension nie et tout

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires

f ∈ L(E) , il existe une base U de E telle que Mat _U f soit triangulaire supérieure. On raisonnera par récurrence en utilisant le théorème de la base incomplète et une projection.

14.

^(Emf14)

Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 , soit E = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de E , u 1 , u 2 , u 3 trois vecteurs de E , f ∈ L(E) tel que Mat E f = A avec

A =





1 1 1 1 0 0 1 0 0







 

 

u ₁ = e ₁ − e ₂ − e ₃ u 2 = 2e 1 + e 2 + e 3

u ₃ = e ₂ − e ₃

Montrer que U = (u 1 , u 2 , u 3 ) est une base de E . Former Mat _U f et la formule de changement de base. En déduire A ⁿ .(voir l'exercice Emm04)

15.

^(Emf15)

Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) une base d'un R-espace vectoriel E . Montrer qu'il existe un unique endomorphisme f de E dont on précisera la matrice dans B vé- riant

f (e 1 ) = e 1 − e 2 + e 3

f (2e 1 + 3e 4 ) = e 2

et

xe ₁ + ye ₂ + ze ₃ + te ₄ ∈ ker f ⇔

( x + 2y + z = 0 x + 3y − t = 0 16.

^(Emf16)

Soit E un K espace vectoriel de dimension nie et

G un sous-groupe ni de cardinal n de GL(E) . Montrer que

dim





\

g∈G

ker(g − Id

E )



 = 1 n

X

g∈G

tr g

17.

^(Emf17)

Soit a , b , c dans R ³ .

a = (1, 1, 1), b = (1, 0, 1), c = (1, 2, 3)

Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection p sur Vect(a) parallèlement à Vect(b, c) .

18.

^(Emf18)

Endomorphismes de trace nulle.

a. Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que,

∀x ∈ E, x 6= 0 E , ∃λ(x) ∈ K tel que f (x) = λ(x)x.

Montrer qu'il existe µ ∈ K tel que

∀x ∈ E, f (x) = µx

b. Soit E de dimension nie n et f un endomorphisme de trace nulle. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f présente un 0 en posi- tion 1, 1 . Comment peut-on interpréter la matrice extraite associée aux indices i et j dans J 2, n K.

c. Soit E de dimension nie n et f un endomorphisme de trace nulle. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f ne présente que des 0 sur la diagonale.

19.

^(Emf19)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension p muni d'une base A = (a 1 , · · · , a p ) et f ∈ L(E) tel que

Mat A f =







λ 1 0 · · · 0 0 λ 1 ... ...

... ... ... ... 0 ... ... ... 1 0 · · · · · · 0 λ







Former une base B telle que Mat _B f = ^t Mat _A f

20.

(Emf20)

Soit E un ensemble et f une application de E dans E . On suppose qu'il existe sur E une addition interne et une multiplication externe par des nombres complexes qui dénissent sur E une structure de C- espace vectoriel de dimension nie p pour laquelle f est un endomorphisme. On note E _C l'ensemble E consi- déré comme un C-espace vectoriel et f _C l'application f considérée comme un endomorphisme de E _C . Soit A _C = (a 1 , · · · , a p ) une base de E _C .

a. Expliquer comment on peut dénir sur E une structure de R-espace vectoriel. On note

A _R = (a 1 , · · · , a p , ia 1 , · · · , ia p ) Montrer que A _R est une base de E _R .

b. Soit A ∈ M p ( C ) la matrice de f _C dans la base A . Former, à l'aide de blocs, la matrice de f _R dans A _R . 21.

^(Emf21)

Soit S une matrice triangulaire supérieure. Former

une matrice triangulaire inférieure semblable à S . 22.

^(Emf22)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et

f ∈ L(E) . On dénit f ^∗ de E ^∗ dans E ^∗ par :

∀ϕ ∈ E ^∗ , f ^∗ (ϕ) = ϕ ◦ f a. Vérier que f ^∗ ∈ L(E ^∗ ) .

b. Soit A = (a ₁ , · · · , a _n ) une base de E et A ^∗ = (α 1 , · · · , α n ) la base duale. Soit

M = Mat

A (f ) Préciser

Mat A

^∗

(f ^∗ )

23.

(Emf23)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et

A = (a ₁ , · · · , a _n ), B = (b ₁ , · · · , b _n )

deux bases de E . Soit P la matrice de passage de A vers B . Exprimer en fonction de P la matrice de passage de A ^∗ vers B ^∗ (bases duales de E ^∗ ).

24.

^(Emf24)

On considère C comme un Q-espace vectoriel. Soit

ω = e

^2iπ⁵

, E = Vect(1, ω, ω ² , ω ³ )

Montrer que E est un sous-corps de C et que

(1, ω, ω ² , ω ³ ) est une base de E . Former la matrice de

la conjugaison dans cette base.

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires

25.

^(Emf25)

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 , soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de E et f ∈ L(E) tel que

Mat B (f ) =





1 1 1 1 2 −1 0 0 0





a. Déterminer Im(f ) et ker(f ) . Vérier qu'ils sont supplémentaires. L'endomorphisme f est-il un projecteur ?

b. On dénit f par

( Im(f ) → Im(f ) x 7→ f (x)

Montrer que c'est un automorphisme et former sa matrice ainsi que celle de sa bijection réciproque dans la base (e ₁ , e ₂ ) .

26.

^(Emf26)

Soit E de dimension n et f ∈ L(E) tel que f 6= 0 _L(E) et f ² = f ◦ f = 0 _L(E) .

Soit W supplémentaire de ker f dans E et (e ₁ , · · · , e _r ) une base de W . Montrer qu'il existe

(v 1 , v 2 , · · · , v _n−2r ) ∈ E ^n−2r telle que

(e 1 , · · · , e r , f (e 1 ), · · · , f (e r ), v 1 , v 2 , · · · , v _n−2r )

soit une base de E . Écrire, à l'aide de blocs, la matrice

de f dans cette base.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires : corrigés

1.

^(mf01)

Par dénition des matrices de passage :

P _BU =





1 0 0 0 1 1 0 0 1





Cette matrice traduit un système que l'on peut inverser pour exprimer l'autre matrice de passage



 

 

u 1 = e 1

u ₂ = e ₂ u 3 = e 2 + e 3

⇒



 

 

e 1 = u 1

e ₂ = u ₂ e 3 = −u 2 + u 3

⇒ P U B =





1 0 0 0 1 −1 0 0 1



 .

2. pas de correction pour Emf02.tex 3. pas de correction pour Emf03.tex 4. pas de correction pour Emf04.tex

5.

^(Cmf05)

Notons c 1 , c 2 , c 3 les trois vecteurs de C .

f (c ₁ ) = f (e ₂ ) = a ⁰ e ₁ + b ⁰ e ₂ + c ⁰ e ₃ = b ⁰ c ₁ + c ⁰ b ₂ + a ⁰ b ₃ f (c 2 ) = f (e 3 ) = a ⁰⁰ e 1 + b ⁰⁰ e 2 + c ⁰⁰ e 3 = b ⁰⁰ c 1 + c ⁰⁰ b 2 + a ⁰⁰ b 3

f (c ₃ ) = f (e ₁ ) = ae ₁ + be ₂ + ce ₃ = bc ₁ + cb ₂ + ab ₃

⇒ Mat

BC =





b ⁰ a ⁰⁰ b c ⁰ c ⁰⁰ c a ⁰ a ⁰⁰ a





Utiliser la formule de changement de base n'est pas une bonne idée. Mettons la en ÷uvre pour le montrer

P _BC =





0 0 1 1 0 0 0 1 0



 , P _CB =





0 1 0 0 0 1 1 0 0





car e ₁ = c ₃ , e ₂ = c ₁ , e ₃ = c ₂ . Il reste encore à calculer le produit





0 1 0 0 0 1 1 0 0





| {z }

=P

CB





a a ⁰ a ⁰⁰ b b ⁰ b ⁰⁰ c c ⁰ c ⁰⁰









0 0 1 1 0 0 0 1 0





| {z }

=P

BC

.

6.

^(Cmf06)

a. On cherche les solutions sous la forme

X = x y

z t

⇒ X ² =

x ² + yz xy + yt zx + tz zy + t ²

.

X ² = 9 0

4 9

⇔



 

 

 

 

x ² + yz = 9 y(x + t) = 0 (x + t)z = 4 zy + t ² = 9

⇔



 

 

 

 

x ² = 9 y = 0 (x + t)z = 4 t ² = 9 Comme x + t 6= 0 , il y a seulement deux solutions

3 0 3 ² ₃

, −

3 0 3 ² ₃

.

X ² = 1

4 0

1 ⁹ ₄

⇔



 



 



x ² + yz = 1 4 y(x + t) = 0 (x + t)z = 1 zy + t ² = 9 4

⇔



 



 



x ² = 1 4 y = 0 (x + t)z = 1 t ² = 9 4 Cette fois il y a 4 solutions car |x| 6= |t| ,

X 1 = 1 2

1 0 1 3

, X 2 = 1 2

1 0

−2 −3

, −X 1 , −X 2 .

b. Inversons les expressions ( v ₁ = e ₁

v 2 = e 1 + e 2

⇔

( e ₁ = v ₁ e 2 = −v 1 + v 2

⇔ P _EV = 1 1

0 1

⇔ P _VE =

1 −1 0 1

. N'utilisons pas la formule de changement de base mais exprimons les images des vecteurs de V qui se lisent sur la matrice de f dans E :

f (e 1 ) = f (e 2 ) = e 1 + e 2 = v 2

⇒

( f (v ₁ ) = f (e ₁ ) = v ₂

f (v 2 ) = f (e 1 ) + f (e 2 ) = 2v 2

⇒ Mat

V (f ) = 0 0

1 2

.

c. Suivons l'indication de l'énoncé en ajoutant ¹ ₄ I ₂ :

X ² + X = 1 1

1 1

⇔ X ² + X + 1 4 I 2 =

5

4 1

1 ⁵ ₄

⇔ (X − 1 2 I 2 ) ² =

5

4 1

1 ⁵ ₄

Avec la formule de changement de base, le résultat de la question b. s'écrit

Mat V (f ) = 0 0

1 2

= P _VE 1 1

1 1

| {z }

=Mat

E

(f)

P _EV

Multiplions à gauche par P VE et à droite par P EV . La relation devient

Y ² = 0 0

1 2

+ 1 4 I 2 = 1

4 1 0

4 9

avec Y = P VE XP EV − ¹ ₄ I 2 .

On retombe sur la deuxième matrice de a. L'équation proposée ici admet donc 4 matrices solutions

∀i ∈ J 1, 4 K , P EV X i P VE + 1 4 I 2

Après calculs ces solutions sont 1

2 1 1

1 1

, − 1 1

1 1

,

0 1 1 0

, − 1 2

3 1 1 3

.

(5)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires : corrigés

7. pas de correction pour Emf07.tex

8.

^(Cmf08)

On distingue 6 cas en discutant sur rg(f ) . Cas 1. rg(f ) = 0 . La matrice est nulle dans n'importe quelle base.

Cas 2. rg(f ) = 1 et la droite Im(f) est incluse dans le plan ker(f ) .

Cas 3. rg(f ) = 1 et Im(f ) ⊕ ker(f ) = E .

Cas 4. rg(f ) = 2 et la droite ker(f ) est incluse dans le plan Im(f) .

Cas 5. rg(f ) = 2 et Im(f ) ⊕ ker(f ) = E .

Cas 6. rg(f) = 3 . Alors f est bijective, en composant par f ⁻¹ :

f ² = f ³ ⇒ Id

E = f.

La matrice de f dans n'importe quelle base est I 3 . Cas 2. rg(f ) = 1 et la droite Im(f) est incluse dans le plan ker(f ) .

Soit (u) une base de Im(f) . Il existe un vecteur non nul w tel que f (w) = u . Comme Im(f ) ⊂ ker(f ) , il existe v tel que (u, v) base de ker(f ) . Vériez que U = (u, v, w) est une base de E . Dans ce cas

Mat U (f ) = D.

Cas 4. rg(f ) = 2 et la droite ker(f ) est incluse dans le plan Im(f ) . Soit (u) une base de ker(f ) , il existe v non nul tel que u = f (v) . L'existence d'un w tel que la matrice de f dans (u, v, w) soit C est plus délicate.

Remarquons que

f ² = f ³ ⇒ (f − Id

E ) ◦ f ² = 0 _L(E) .

Si on montre qu'il existe w ₀ tel que f ² (w ₀ ) 6= 0 E , on pourra poser w = f ² (w ₀ ) et on aura f (w) = w ce qui permettra de conclure (en vériant que c'est bien une base). En fait f ² = 0 _L(E) ⇔ Im(f ) ⊂ ker(f ) ce qui est faux dans ce cas 4 à cause des dimensions. Il existe donc bien un w = f ² (w 0 ) non nul.

Cas 3 et 5. Im(f ) est toujours stable par f , notons g la restriction de f à l'image. Le noyau et l'image sont supplémentaires donc (théorème noyau-image), g est bijective et on peut raisonner comme en 6 :

f ² = f ³ ⇒ g ² = g ³ ⇒ g = Id

Im(f) .

En concaténant une base de l'image et une base du noyau, on obtient A dans le cas 3 et B dans le cas 5.

9.

^(Cmf09)

On remarque que

f (e _k ) = (α − β )e _k + βu _n En sommant de 1 à i , on obtient

f (u _i ) = (α − β)u _i + iβu _n d'où la matrice







α − β 0 · · · · · · 0

0 ... ...

... ... ...

0 · · · 0 α − β 0

β 2β · · · (n − 1)β nβ + α − β







10.

^(Cmf10)

Soit E de dimension 2 avec une base U . Soit F de dimension 3 avec une base V . Soit a ∈ L(E, F ) et b ∈ L(F, E) telles que

Mat U,V (a) = A, Mat

V,U (b) = B

Pour montrer que AB est la matrice d'un projecteur, on calcule (AB) ² . On trouve I 3 ; ce qui prouve bien que AB est la matrice d'un projecteur. Avec les bases données

AB = Mat

U a ◦ b

donc a ◦ b est un projecteur de E . Il est de rang 2 car son rang est égal à la trace de AB . De plus,

dim E = 2 dim F = 3 a ∈ L(E, F ) b ∈ L(F, E)

rg(a ◦ b) = 2



 



 



⇒ a injective et b surjective

On en déduit

a ◦ b ◦ a ◦ b = a ◦ b ⇒ a ◦

b ◦ a − Id

E

◦ b = 0 _L(F ₎

⇒

b ◦ a − Id

E

◦ b = 0 _L(F,E) (car a injective)

⇒ b ◦ a − Id

E = 0 _L(E) (car a surjective) 11. pas de correction pour Emf11.tex

12.

^(Cmf12)

Le projeté de x ∈ R ³ sur ker ϕ parallélement à Vect(u) est

x − ϕ(x)

ϕ(u) u avec ϕ((x, y, z)) = x − 2y + z,

u = (1, 0, 1), ϕ(u) = 2.

Utilisons les matrices colonnes dans la base canonique pour former les images : (1, 0, 0) se projete en



 1 0 0



 − 1 2



 1 0 1



 =





1 2

0 − ¹ ₂



 .

Avec des calculs analogues pour les autres vecteurs, on en déduit la matrice





1 2 1 − ¹ ₂

0 1 0

− ¹ ₂ 1 ¹ ₂ .





On peut aussi utiliser des coecients indéterminés.

Notons A la matrice demandée. D'après la formule vec- torielle :

∀(x, y, z) ∈ R ³ , A



 x y z



 =



 x y z



 − x − 2y + z 2



 1 0 1





= 1 2





x + 2y − z 2y

−x + 2y + z





⇒ A = 1 2





1 2 −1

0 2 0

−1 2 1



 .

On peut vérier que A ² = A .

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires : corrigés

13. pas de correction pour Emf13.tex

14.

(Cmf14)

Comme U est formé de 3 vecteurs et que l'on a besoin des matrices de passage, le plus économique est de montrer que la famille est génératrice en exprimant les e en fonction des u . On tire des relations



 

 

 

  e 1 = 1

3 (u 1 + u 2 ) e 2 = 1

2 (e 1 − u 1 + u 3 ) = 1

6 (−2u 1 + u 2 + 3u 3 ) e 3 = 1

2 (e 1 − u 1 − u 3 ) = 1

6 (−2u 1 + u 2 − 3u 3 ) On en déduit

P = P _EU =





1 2 0

−1 1 1

−1 1 −1



 ,

P ⁻¹ = P U E = 1 6





2 −2 −2

2 1 1

0 3 −3



 . De plus,

A



 1

−1



 =





−1 1 1



 = −



 1

−1



 ,

A



 2 1 1



 =



 4 2 2



 = 2



 2 1 1



 ,

A



 0 1

−1



 =



 0 0 0



 On en déduit

Mat U (f ) =





−1 0 0 0 2 0 0 0 0



 = D.

La formule de changement de base donne A = P DP ⁻¹ ⇒ A ⁿ = P D ⁿ P ⁻¹ .

15.

^(Cmf15)

L'unique endomorphisme vériant les conditions imposées a pour matrice dans B :







1 ⁸ ₃ ¹ ₃ − ² ₃

−1 −3 0 1 1 ⁸ ₃ ¹ ₃ − ² ₃

0 0 0 0







16.

^(Cmf16)

Soit s = P

g∈G g . Comme chaque g est bijectif, chaque application

( G → G h 7→ g ◦ h

est injective donc bijective (car G est ni). On en déduit que g ◦ s = s puis que s ◦ s = ns et donc que p = ¹ _n s est un projecteur. On en tire

rg p = tr p = 1 n

X

g∈G

tr g

Notons

I = \

g∈G

ker(g − Id

E ) de sorte que

x ∈ I ⇔ ∀g ∈ G, g(x) = x

On en déduit que x ∈ I entraîne s(x) = nx d'où p(x) = x ce qui montre I ⊂ Im p .

Réciproquement, on va exploiter p ◦ g = p = g ◦ p qui a déjà été montré.

x ∈ Im p ⇒ ∀g ∈ G, g(x) = g(p(x)) = p(x) = x Donc x ∈ I d'où I = Im p et l'égalité des dimensions.

17.

^(Cmf17)

L'énoncé se traduit par

a = e 1 + e 2 + e 3 , b = e 1 + e 3 , c = e 1 + 2e 2 + 3e 3

Comme p est la projection sur Vect(a) parallèlement à Vect(b, c) , on en tire

e 2 = a − b ⇒ p(e 2 ) = a

c − a = e 2 + 2e 3 ⇒ −a = a + 2p(e 3 ) ⇒ p(e 3 ) = −a p(b) = 0 ⇒ p(e ₁ ) = −p(e 3 ) = a

Comme a = e 1 + e 2 + e 3 , la matrice demandée est





1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1





18.

^(Cmf18)

a. On montre que λ(x) = λ(y) pour x et y non nuls en distinguant deux cas suivant que (x, y) est libre ou lié. Notons µ cette valeur commune. Alors f est une homothétie de rapport µ , sa trace est µ dim(E) 6= 0 . b. Si tr(f ) = 0 , d'après la question précédente, il existe u 1 6= 0 E tel que (u 1 , f(u 1 )) soit libre. On note u 2 = f(u) et on complète (u 1 , u 2 ) en une base U = (u 1 , · · · , u n ) de E . Soit A = Mat U (f ) alors a 11 = 0 car c'est la coordonnée de f (u 1 ) = u 2 dans U . En fait,

C 1 (A) =





 0 1 0 ...

0 



 .

Notons p la projection sur V = Vect(u 2 , · · · , u n ) parallèlement à Vect(u 1 ) et f V la restriction de f à V . Alors

A J 2,n K J 2,n K = Mat

(u

2

,··· ,u

n

)

p ◦ f V

c. On utilise la question précédente en raisonnant par récurrence sur la dimension de l'espace.

19.

^(Cmf19)

Il sut d'inverser les vecteurs de la famille.

B = (a _p , a _p−1 , · · · , a ₁ )

(7)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Matrices : familles de vecteurs, applications linéaires : corrigés

20.

^(Cmf20)

a. On conserve la même addition interne et on res- treint la multiplication externe par les complexes aux seuls réels. Il faut vérier que A _R est libre et gé- nératrice car on ne sait rien sur la dimension réelle.

b. Soient U et V réelles telles que A = U + iV .

Mat A

_R

f _R =

U −V

V U

21.

^(Cmf21)

Intervertir les vecteurs d'une base :

U = (u ₁ , u ₂ , · · · , u _p ) ! V = (u _p , u _p−1 , · · · , u ₁ ) Par exemple avec une matrice 3 × 3 représentant un endomorphisme g .

Soit B = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un K -espace vec- toriel E et U = (e 1 , e 2 , e 2 + e 3 ) . Exprimer les matrices de passage de B dans U et de U dans B .

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1.