MM2, alg`ebre, 2014-2015 Groupe MASS1
J. LIN jie.lin@imj-prg.fr
TD 8 : Matrices
Exercice 1 Effectuer tous les produits possibles de deux matrices choisies parmi les quatres suivantes :
A=
1 3 0 6 2 0 −1 0 0 2 7 5
, B =
3 1 2 0
−11 7
−1 3
, C =
1 2 6 0 3 0 2 0 −5
, D = 1 4 3 2
!
.
Exercice 2 Calculer An pour tout n∈N o`u (a) A=
1 1 0 2
(b) A =
a b 0 a
Ici, a, b sont des nombres r´eels.
Exercice 3 Soient B, C deux matrices n×n.
(a) Montrer que(B+C)2 =B2+2BC+C2 si et seulement siB etCcommutent,i.e.
BC =CB.
Dans la suite, on suppose que B et C commutent.
(b) Montrer que BCm =CmB pour tout m∈N.
(c) Montrer que BkCm =CmBk pour tout m∈N et k∈N. (d) Montrer que (B+C)n = P
0≤i≤n
CniBn−iCi pour tout n ∈N. (e) Soient a et b deux nombres re´els. Posons B = a 0
0 a
!
et C = 0 b 0 0
!
. (i) V´erifier que BC =CB.
(ii) V´erifier que C2 = 0.
(iii) Calculer (B +C)n pour tout n ∈ N `a l’aide du point b et le comparer avec exercice 2(b).
Exercice 4 Soient A et B deux matrices n×n inversibles.
(a) Montrer que AB est aussi inversible et (AB)−1 =B−1A−1 (b) Montrer que (tA)−1 =t(A−1) en utilisant que t(AB) = tBtA.
Exercice 5 (a) Soit A= 3 2 1 1
!
. Montrer queA2−4A+I = 0. En d´eduire que A est inversible et calculer son inverse.
(b) Soit A=
2 2 −2 0 −2 4 0 −3 5
. Montrer que A2−3A+ 2I = 0. En d´eduire queA est inversible et calculer son inverse.
Les feuilles de TD sont disponibles `a la page:
http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html
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J. LIN jie.lin@imj-prg.fr
Exercice 6 Soient A= a b c d
!
et B = d −b
−c a
!
. (a) Calculer AB.
(b) Montrer que A est inversible si et seulement ad−bc 6= 0. Rev´erifier l’exercice 5(a).
Exercice 7 On consid`ere le les matrices suivantes :
A=
3 1 1
1 2 1
−3 −2 −1
, P =
0 −1 1 1 −1 0
−1 3 −1
(a) Calculer P−1 par le pivot de Gauss.
(b) Calculer M :=P−1AP.
(c) Calculer Mn pour tout n ∈N.
(d) Montrer que Mn=P−1AnP et calculer An pour tout n ∈N.
(e) Calculerdet(M),det(A)etdet(A2). V´erifier quedet(M) =det(A)etdet(A2) = (det(A))2.
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