Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 1/3
TD-Chapitre 5
Introduction à l'Optimisation
EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 5
RECHERCHE D'EXTREMA D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE
> Exercice 1 – TD-CH5
Etudier la fonction 10 0,5
Pour cela, on étudie la dérivée première : 1.a/ Calculer sa dérivée première ′
1.b/ En déduire le(s) point(s) critique(s) c'est-à-dire le point pour lequel la dérivée s'annule 2.a/ Construire le tableau de variation de
2.b/ La fonction admet-elle un extremum ?
> Exercice 2 – TD-CH5
Etudier la fonction 2x 1500 2000000
1/ Etude de sa dérivée première ′ . En déduire le(s) point(s) critique(s).
2/ Etude de sa dérivée seconde . En déduire la nature de l'extremum.
RECHERCHE D'EXTREMA D'UNE FONCTION DE 2 VARIABLES OPTIMISATION SANS CONTRAINTE
> Exercice 3 – TD-CH5
Déterminer les extremums locaux de la fonction f définie sur par ,
> Exercice 4 – TD-CH5
Déterminer les extremums locaux de la fonction f définie sur par , 9xy 1
> Exercice 5 – TD-CH5
Déterminer les extremums locaux de la fonction f définie sur par ; ² ²
> Exercice 6 – TD-CH5
Optimisation de la fonction de 2 variables définie sur par ; 2x² ² 12x 4y 8
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OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE
> Exercice 7 – TD-CH5
Déterminer les extremums locaux de la fonction f définie sur par , ) = − 2y − 1 sous la contrainte linéaire − 2y = 21
> Exercice 8 – TD-CH5
Minimiser sous contrainte ( ; ) = ! + " sous contrainte 2ln( ) + ln( ) = −ln(2) On rappelle que ln(%) + ln(&) = ln(%&) et 'ln(%) = ln(%()
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 5
> Exercice 9 – TD-CH5
La fonction de production de James Cobb et Paul Douglas Une entreprise produit des biens B dont la fabrication nécessite :
• un certain volume d'heures de travail désigné par x (x>0)
• un certain volume d'équipements désigné par y (y>0)
On suppose que la quantité de biens produit avec un volume d'heures de travail égal à x et un volume d'équipements y est :
( ; ) = √ = ( ∗ )
On suppose enfin que le cout horaire est égal à 50 et le cout unitaire des équipements est égal à 100 de tel sorte que le cout de production à volumes de travail et d'équipements x et y donnés est :
( , ) = 50 + 100
Optimisation de la quantité produite à niveau de cout donné
On étudie la maximisation de la quantité produite + = ( ; )en supposant que le cout de production ( ; ) = 1000.
Autrement dit, on cherche à maximiser + = ( ; ) sous la contrainte de cout ( ; ) = 1000. 1/ Montrer que ce problème revient à maximiser la fonction de la variable x définie par
,( ) = ( ; 10 − 0,5 ) avec 0 < < 20 2/ Calculer , ( )et démontrer que , ( ) est du signe de − + 10 3/ 3.a/ En déduire les variations de la fonction F
3.b/ et les valeurs de x et de y qui permettent d'optimiser la quantité produite + = ( ; ) sous la contrainte de cout ( ; ) = 1000
4/ En déduire la quantité produite optimale Q pouvant être obtenue sous la contrainte de cout ( ; ) = 1000
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> Exercice 10 – TD-CH5
Une entreprise fabrique et commercialise des automobiles. Une étude a permis de déterminer le coût de production, exprimé en euros, en fonction de la quantité x de véhicules fabriqués.
Ce coût est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle [200;4000] par : C( ) = 2 − 1500 + 2 000 000
1/ Etude de la fonction C d'une variable réelle x :
1.a/ On note C'la fonction dérivée de la fonction C sur l'intervalle [200;4000]
Calculer C'( ).
1.b/ Déterminer le signe de la dérivée première C'sur l'intervalle [200;4000]. En déduire le sens de variation de la fonction C.
2/ Donner le tableau des variations de la fonction C sur l'intervalle [200;4000]
3/ 3.a/ En déduire la quantité de véhicules que l'entreprise doit produire, pour obtenir un coût minimum 3.b/ et donner, en euros, ce coût minimum.
4/ Chaque véhicule est vendu 9000 €.
On note B( )le bénéfice, exprimés en euros, lorsque l'entreprise fabrique et vend x véhicules.
4.a/ Exprimer B( )en fonction de x.
4.b/ Déterminer la production qui permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice maximum, puis donner la valeur de ce maximum.
