Exercice 3 –(sur 5 points) 1) Soit les matrices A B

Universit´e de Cergy-Pontoise

Math´ematiques SVS2

EXAMEN FINAL Epreuve du 18 mai 2010

Dur´ee : 2 heures

L’usage de tout document ou calculatrice est interdit.

Le devoir est not´e sur 20 points.

Exercice 1 –(sur 4 points)

Soit (u_n)n∈N et (v_n)n∈N les suites d´efinies par

u₀ = 4, v₀ = 3, u_n+1 = 1

5(3u_n+ 2v_n), v_n+1 = 1

5(2u_n+ 3v_n), n≥0.

D´emontrer que les suites (u_n)n∈N et (v_n)n∈N sont adjacentes.

Exercice 2 –(sur 6 points)

Soit la fonction `a deux variablesf d´efinie par

f(x, y) = cos(x²+y²). 1) Calculer

∂f

∂x(x, y), ∂f

∂y(x, y), ∂²f

∂x∂y(x, y), ∂²f

∂y∂x(x, y). 2) On pose

D= ((x, y)∈R², x²+y² ≤ π 2).

Calculer

Z Z

D

f(x, y)dxdy .

Exercice 3 –(sur 5 points) 1) Soit les matrices

A=

1 2 −1 3 −7 2

, B =





2 5 1 1 4 2 1 3 3



.

Calculer A^t etAB.

1

2) Soit la matrice

C =

x³−x² 1 x−1 1

,

o`u x est un param`etre r´eel. Pour quelles valeurs de x la matrice C est inversible ? Dans ce cas calculer C⁻¹.

Exercice 4 –(sur 5 points)

1) Soit (u_n)n∈N la suite d´efinie par

u₀ = 2, u_n+1 = 1

2u_n+ 1, n ≥0.

D´emontrer que (u_n)n∈N est convergente et calculer sa limite 2) Soit (vn)n∈N la suite d´efinie par

v₀ = 3, v_n+1 = 1

2v_n+ 1, n≥0.

D´emontrer que vn = 2 + 2⁻ⁿ.

2