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TD 9 : Matrices II et Applications lin´eaires Exercice 1

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(1)

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN [email protected]

TD 9 : Matrices II et Applications lin´eaires

Exercice 1 Calculer le d´ eterminant et v´ erifier que les matrices suivantes sont inversible. Calcule ses inverses en utilisant la m´ ethode des cofacteurs et le Pivot de Gauss.

(a)

2 −1

−3 1

, (b)

5 2 3 1

,

(c)

2 −1 0

3 1 0

14 3 −1

, (d)

3 0 2 2 1 2 4 3 0

.

Exercice 2 Calculer l’inverse (quand elle existe) des matrices suivantes en utili- sant le Pivot de Gauss.

(a)

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

, (b)

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 1

.

Exercice 3 Soit A =

4 1 3

−2 1 1 0 3 5

et v =

1 5

−3

. (a) Montrer que Av = 0.

(b) En d´ eduire que A n’est pas inversible.

Exercice 4 Pour chacune de ces matrices, calculer les valeurs du r´ eel m tel que la matrice n’est pas inversible et calculer son rang.

(a)

2 −1 3

m 1 1

−1 1 2

, (b)

−1 0 1 2 −1 −3

1 m −2

.

Exercice 5 Parmi les applications suivantes f : E → F entre deux espaces vecto- riels, d´ eterminer les applications lin´ eaires. Le cas ´ ech´ eant, fixer des bases de E et F , et d´ eterminer la matrice associ´ ee par rapport aux bases choisies. (a) f : R

3

→ R

2

, (x, y, z) 7→ (2x + y, 2y),

(b) f : R

2

→ R

2

, (x, y) 7→ (2x, 1 + y), (c) f : R

2

→ R

2

, (x, y) 7→ (y, x),

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

(2)

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN [email protected]

(d) f : R

2

→ R

2

, (x, y) 7→ (x

2

, y

2

), (e) f : R → R

2

, x 7→ (cos x, sin x),

(f) f : R

3

→ R

3

, (x, y, z) 7→ (x + y − z, 2x + 3y, 0), (g) f : R

3

→ R

3

, (x, y, z) 7→ (x + y, 2x + 5z, 0) (h) f : R

3

→ R

3

, (x, y, z) 7→ (x − 3y, x + y, z + 2)

Exercice 6 D´ ecrire toutes les applications lin´ eaires f : R

3

→ R

2

telles que f(1, 0, 0) = (1, 0) et f (0, 1, 0) = (0, 1).

Exercice 7 Soient f : R

2

→ R

3

donn´ ee par (x, y) 7→ (x + y, x − y, 2x + 3y), et g : R

3

→ R

2

donn´ ee par (x, y, z) 7→ (x + y − z, 2y + z).

(a) Montrer que f , g, g ◦ f , f ◦ g sont des applications lin´ eaires.

(b) ´ Ecrire les matrices associ´ ees ` a f, g, g ◦ f, f ◦ g par rapport aux bases canoniques de R

2

, R

3

. Quel rapport y a-t-il entre ces matrices ?

Exercice 8 Soit f : R

4

7→ R

4

l’application lin´ eaire d´ efinie par :

f (x, y, z, t) = (x − y + z + 3t, −x + 3y + z − 3t, x − y + 2z + 4t, 2x + y − 3z − t)

f est-elle bijective ? Si oui, expliciter f

−1

et en donner la matrice associ´ ee.

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

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