TD 10 : Applications lin´eaires II Exercice 1

(1)

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN [email protected]

TD 10 : Applications lin´eaires II

Exercice 1 On consid` ere un espace vectoriel r´ eel E de dimension 3. Soit B = (e

₁

, e

₂

, e

₃

) une base de E. Soit f l’application lin´ eaire dont la matrice par rapport

`

a la base B est donn´ ee par







1 1 1 1 1 1 1 1 1







(a) D´ eterminer le noyau et l’image de f . (b) Calculer le rang de f.

(c) Calculer la matrice de f

²

et montrer que f

²

− 3f = 0.

Exercice 2 Soit (e

₁

, e

₂

, e

₃

) la base canonique de R

³

et f l’endomorphisme d´ etermin´ e par

f(e

₁

) = e

₁

+ 2e

₃

; f(e

₂

) = 2e

₁

− e

₂

− e

₃

; f (e

₃

) = −e

₁

+ e

₂

+ 3e

₃

(a) Donner la matrice associ´ ee ` a f .

(b) D´ eterminer l’image du vecteur u = (x, y, z). En d´ eduire celle de (−1, 2, −3).

(c) D´ eterminer Kerf et en donner une base. En d´ eduire la dimension de Imf.

(d) D´ eterminer f

⁻¹

(3, −1, 1) et f

⁻¹

(1, 0, 1).

(e) Donner une base de Imf.

(f) Donner un syst` eme d’´ equations caract´ erisant Imf.

Exercice 3 Soit f : R

³

7→ R

³

l’application lin´ eaire d´ efinie par :

f (x, y, z) = (−12x − 15y − 3z, 8x + 10y + 2z, 8x + 10y + 2z).

(a) Donner la matrice de f .

(b) Donner une base pour chacun des sous-espaces vectoriels Kerf et Imf . (c) Montrer que Kerf ⊃ Imf . Y a-t-il ´ egalit´ e ?

(d) Montrer que f ◦ f = 0.

Exercice 4 Soit E un R -espace vectoriel et f un endomorphisme de E.

(a) Montrer l’´ equivalence suivante :

Imf ⊂ Kerf si et seulement si f ◦ f = 0.

(b) Montrer que si f ◦f = 0, alors l’endomorphisme I

_E

+f est inversible et donner son inverse.

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

(2)

MM2, alg` ebre, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN [email protected]

Exercice 5 Soit E = R

⁵

et F = R

⁴

. On consid` ere l’application lin´ eaire f de E dans F donn´ ee par la matrice







1 2 0 −1 5

2 0 2 0 1

1 1 −1 3 2 0 3 −3 2 6







(a) D´ eterminer le noyau et l’image de f .

(b) On en donnera une base pour chacun des sous-espaces vectoriels Kerf et Imf.

Exercice 6 On consid` ere f : R

³

7→ R

³

l’application lin´ eaire d´ efinie par : f (x, y, z) = (−2x + 3y + z, −2x + y − z, 3x − 2y + z) (a) D´ eterminer le noyau et l’image de f .

(b) On en donnera une base pour chacun des sous-espaces vectoriels Kerf et Imf.

(c) Montrer que Kerf ∩Imf = {0} et en d´ eduire que Kerf+Imf = R

³

. (Indication : considerer la dimension de Kerf + Imf).

Exercice 7 Soit f : R

³

→ R

³

l’application lin´ eaire d´ efinie par f (v) = Av pour tout v ∈ R

³

, avec

A =







0 1 2

2 −1 0

1 1 3





 .

(a) Calculer f(x, y, z). En d´ eduire f (1, 2, −1).

(b) Trouver des bases et des ´ equations caract´ erisant Kerf et Im(f ).

(c) Soient v, w deux vecteurs tels que f (v) = w. Montrer que f

⁻¹

(w) = {u+v | u ∈ Kerf }. Trouver un tel v quand w = (1, −3, 0).

Exercice 8 Soit f l’application lin´ eaire de R

³

dans R

³