> Exercice 1 – TD-CH3

TD-Chapitre 3

Variables aléatoires discrètes

CORRECTION EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 3

> Exercice 1 – TD-CH3

Soit X la variable aléatoire dont la distribution est donnée par le tableau suivant :

IM(X) : xi -3 0 3

P(X=xi) 0,35 0,3 a?

1/ 1.a /Donner l’ensemble image de X : Im(X)={-3;0;3}

1.b/ Calculer a en donnant la partition utilisée. Rappeler les 3 propriétés qu'elle doit vérifier.

Partition : ({X=-3}, {X=0}, {X=3})

Dans une partition : 1/Chaque événement a bien une probabilité non nulle, 2/ils sont incompatibles 2 à 2 et 3/ leur réunion est égale à Ω=Im(X)

3 0 3 1 donc 3 1 0,35 0,3 ,

2/ Calculer la probabilité pour que X soit :

2.a/ inférieur ou égal à 0,3 : ⩽ 0,3 3 0 0,65

2.a/ supérieur ou égal à 0 : 0 0 3 0,65

2.a/ strictement supérieur à 3 : 3 0 car l'événement {X>3} est impossible 3/ Exprimer et calculer :

3.a/ l’espérance de X. En déduire sa moyenne. Est-elle centrée ?

∈ ;";

3 0,35 0 0,3 3 0,35 0 ∈ # 3; 3$

X est centrée car son espérance est nulle.

3.b/ la variance de X. En déduire son écart-type. Est-elle réduite ?

% & '⁽ 0 ⁽

∈ ;";

9 0,35 0 0,3 9 0,35 6,3

% & ⁽

∈ ;";

0 ⁽ 6,3 Ecart-type de X: ' *% & ≃ 2,51 - 1 : la variable X n'est donc pas réduite.

4/ Soit Y la variable aléatoire définie par Y=X². 4.a/ Donner le tableau de distribution de Y

xi -3 0 3

yj =(xi)² 9 0 9

P(X=xi) 0,35 0,3 0,35

De ce tableau de valeurs, on déduit le tableau de distribution (ou tableau statistique) de Y :

yj 0 9

P(Y=yj ) 0,3 0,7

Car . 0 0 0,3 et . 9 # 3$ ∪ # 3$ 3 3 0,7

4.b/ Calculer l'espérance et la variance de Y

. ∑3 ∈";42 . 2 6,3 ∈ #0; 9$ et % & . ∑3 ∈";42⁽ . 2 6,3⁽ 17,01

> Exercice 2 – TD-CH3

Dans une station-service d'un village isolé, le nombre d'automobilistes qui viennent faire le plein d'essence est représenté par une variable aléatoire de distribution :

Ensemble image de X, noté IM(X) : valeurs xi 0 1 2 3 4 5

Probabilité associée à chaque valeur P(X=xi) 0,02 0,14 0,26 0,42 0,14 0,02

Probabilités cumulées P(X ≤ xi) 0,02 0,16 0,42 0,84 0,98 1,00

1/ Quelle est le nombre moyen de pleins journaliers ?

∈";5;(; ;6;7

= 2,58 ∈ [0; 5]

2/ Quelle est la variance ? En déduire l’écart-type.

% &( ) = ⁽× ( = )

∈";5;(; ;6;7

− (2,58)⁽= 7,68 − (2,58)⁽= 1,0236

On en déduit que ' = *% &( ) = √1,0236 ≃ 1,012

3/ Lors d'une journée où l'équivalent de 3 pleins est disponible à la pompe, quelle est la probabilité pour qu’il reste de l'essence à la fermeture, en fin de journée ?

« Il reste de l'essence » si strictement moins de 3 pleins (quantité disponible) sont effectués dans la journée

« Il reste de l'essence » se traduit par l’événement : [ < 3] = [ ⩽ 2]

[ ⩽ 2] = 0,02 + 0,14 + 0,26 = 0,42

4/ De quelle quantité d'essence (en nombre de pleins) doit disposer cette station-service chaque jour afin que la demande soit satisfaite avec une probabilité supérieure ou égale à 70% ?

La demande est satisfaite si le nombre de pleins effectués (X) est inférieur ou égal à la quantité d’essence disponible (ainsi tous les pleins « souhaités » peuvent bien être effectués)

La demande est satisfaite si ⩽ <= > où <= >est le nombre de pleins dont doit disposer la station.

?( @A ≤ CD) ≥E %

D'après les valeurs cumulées, [ ⩽ 2] = 0,42 < 0,7 et [ ⩽ 3] = 0,84 > 0,7

La station doit donc disposer de l'équivalent d'au moins 3 pleins pour que la demande soit satisfaite avec une probabilité supérieure ou égale à 70%.

> Exercice 3 – TD-CH3

En plus du nombre de pleins d'essence journaliers de l'exercice précédent, on évalue à 70% la probabilité qu’un client ayant réalisé un plein d'essence achète aussi, le même jour, au moins un article dans la boutique de la station-service.

On appelle Y la variable aléatoire modélisant, pour un jour, dans cette boutique, le nombre de clients qui achètent au moins un article, suite à l'achat d'un plein d'essence.

On suppose qu’il y a indépendance du comportement des consommateurs.

On constate que 2 automobilistes ont fait le plein d'essence dans la journée : @A = CD

1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ? distribution de la variable Y(X=2). indication : Y_(X=2) est Y (nombre de ventes d'articles) sachant {X=2} (pour 2 pleins d'essence).

Sachant que 2 clients ont effectué le plein d’essence, le nombre de clients qui achètent aussi à la boutique est 0, 1 ou 2

k 0 1 2

(.@GH(D= I) (0,3)⁽= 0,09 2 × (0,3) × (0,7) = 0,42 (0,7)⁽= 0,49

On vérifie 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

En effet, chaque consommateur (1 ou 2) peut acheter ou non un produit

L’événement J5 est « le consommateur n°1 achète un article » avec (J5) = 70% = 0.7 L’événement J( est « le consommateur n°2 achète un article » avec (J() = 70% = 0.7

Alors (. = 0) = (JLLL ∩ J₅ LLL) = (J( LLL) × (J5 LLL)( produit des termes par indépendance des consommateurs 1et 2 D’où (. = 0) = (0,3)⁽= 0,09

De même, si un produit est acheté (événement @. = 1D), alors cela peut être soit par le conso n°1, soit par le conso n°2 Ainsi (. = 1) = (J₅∩ JLLL) + (J( LLL ∩ J5 () = (J₅) × (JLLL) + (J₍ LLL) × (J5 () = 2 × 0.3 × 0.7

2/ Pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique est (.) = ∑N∈@";5;(DI × (. = I)= 1,4 ∈ [0; 2]

3/ La variance est % &O.[GH(]P = ∑N∈" ;5 ;((I − 1,4)⁽× (. = I)= 2,38 − (1,4)⁽= 0,42 puis l'écart-type de Y(X=2) est ' = *% &(.[GH(]) = 0,648

> Exercice 4 – TD-CH3

On constate maintenant que 3 pleins d'essence ont été réalisés dans la journée : @A = D 1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ?

Construire le tableau de distribution de cette variable Y(X=3)

indication : Y_(X=3) est Y (nombre de ventes d'articles) sachant {X=3} (pour 3 pleins d'essence).

Sachant que 3 clients ont effectué le plein d’essence, le nombre de clients qui achètent aussi à la boutique est 0, 1, 2 ou 3

k 0 1 2 3

(._@GH(D= I) (0,3) = 0,027 3 × (0,3)⁽× (0,7) = 0,189 3 × 0,3 × (0,7)⁽= 0,441 (0,7) = 0,343

2/ Déterminer, pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique Y(X=3)

(.[GH ]) = = I × (. = I)

N∈@";5;(; D

= 2,1 ∈ [0; 3]

3/ En déduire la variance puis l'écart-type de Y(X=3)

% &(.[GH ]) = (I − 2,1)⁽× (. = I)

N∈";5;(;

= 5,04 − (2,1)⁽= 0,63 etl'écart-type

' = Q% &(.[GH ]) = 0,794

> Exercice 5 – TD-CH3

A la sortie du stade Marcel Michelin, on interroge 1000 supporters de rugby répartis en 3 catégories de place : Catégorie A (debout au bord du terrain), B (place assise en tribune) et C (en loge ou salon).

On leur demande s'ils reviendront au prochain match.

Les 3 réponses possibles sont : « oui » ou « non » ou « je ne sais pas » Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

Réponse oui Réponse non Indifférent Nb de personnes

par catégorie (X)

A 190 personnes 150 50 390

B 350 200 20 570

C 25 10 5 40

Nb de personnes par type de réponse

donnée (R)

565 360 75 1000

On appelle : R la variable représentant la réponse donnée / X la variable qui désigne la catégorie 1/ les variables aléatoires R et X sont des variables discrètes car réponses et catégories sont qualitatives.

2/ Construire le tableau de distribution de R.

Probabilités uniformes donc ( = I) =RS TU VUWXY>>UX VZW [Z\é^YW U 5"""

Où 1000 est le nombre total de personnes Tableau de distribution de R

Réponse r r = Oui (1) r = Non (-1) r = ?? (0)

P(R=r) 0,565 0,36 0,75

3/ Construire le tableau de distribution de X.

Tableau de distribution de X :

Catégorie k k = A k = B k = C

P(X=k) 0,39 0,57 0,04

4/ Calculer le nombre moyen de réponses données si on affecte à la réponse « oui » la valeur 1, à la réponse

« non » la valeur (-1) et à la réponse « je ne sais pas » la valeur 0.

C’est l’espérance mathématique de R (réponse donnée)

(_) = & × (_ = &)

W∈@ 5;";5D

= 0,205 donc le nombre moyen de réponses (parmi 1000 pers) est 205.

> Exercice 6 – TD-CH3

et exercice permet de retravailler sur les notions d'événements (réunion/intersection/conditionnement...) vues précédemment et fait aussi le lien avec le Chapitre 4

On regarde maintenant au hasard la réponse d’une personne parmi les 1000.

Exprimer et calculer les probabilités des événements :

1/ cette personne appartient à la catégorie A et elle ne répond pas « non » (J∩ `a J ∩ ` J ∩ b 150 50

1000 0,2

2/ cette personne n’appartient pas à la catégorie B ou elle est indifférente.

ca ∪ b ca b ca ∩ b Avec

ca J ∪ d ainsi

ca ∩ b J ∩ b d ∩ b et on obtient

J ∪ d b J ∩ b d ∩ b 390 40

1000 75

1000 50 5 1000 0,45

3/ cette personne n’appartient pas à la catégorie C sachant qu’elle répond « oui » da e⁄ da ∩ e

e 0,54

0,565 0,956 où

da ∩ e J ∪ c ∩ e J ∩ e c ∩ e 190 350 1000 0,54 4/ cette personne répond « oui » sachant qu’elle ne répond pas « non »

et qu’elle n’appartient pas à la catégorie B.

e `a⁄ ∩ ca e ∩ `a ∩ ca

`a ∩ ca

0,215

0,27 0,796 Où

e ∩ `a e ∩ e ∪ b e,

`a e ∪ b ca J ∪ d puisque

e ∩ `a ∩ ca e ∩ ca e ∩ J e ∩ d 0,19 0,025 0,215et

`a ∩ ca e ∪ b ∩ J ∪ d e ∩ J e ∩ d b ∩ J b ∩ d Et donc `a ∩ ca 0,19 0,025 0,05 0,005 0,27

EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 3

> Exercice 7 – TD-CH3

CET EXERCICE PERMET DE TRAVAILLER SUR LA FONCTION DE REPARTITION QUE L'ON UTILISERA AU DEUXIEME SEMESTRE ET SUR LES PROPRIETES DE L'ESPERANCE ET DE LA VARIANCE.

Le nombre d'avions annulés chaque jour par une compagnie aérienne est une variable aléatoire X dont la distribution de probabilité est :

1/ 1.a/ Vérifier que l'on a bien une distribution de probabilité.

On a pour tout g∈ b @0; 1; 2; 3; 4; 5; 6D 0 et ∑^h_NH" 1

1.b/ Quelle est la fonction de répartition de X ? Donnez-en une représentation graphique.

La fonction de répartition de la variable aléatoire X est F définie par :

i j ? A B j

k^lmno p qr<kogr< smn t pmu&n ku upémn sm v&rw wgpgoén si x < 0, F(x) = 0 car Im(X)={0 ;1 ;… ;6}

si 0 ≤ x < 1, F(x) = 0,2

si 1 ≤ x < 2, F(x) = 0.2+0.3 = 0,5 si 2 ≤ x < 3, F(x) = 0.5+0.25 = 0,75 si 3 ≤ x < 4, F(x) = 0.75 + 0.12 = 0,87 si 4 ≤ x < 5, F(x) = 0.87 + 0.08 = 0,95 si 5 ≤ x < 6, F(x) = 0.95 + 0.03 = 0,98 si x ≥ 6, F(x) = 1

d'où la représentation graphique :

0 1 2 3 4 5 6

0 0,2 0,3 0,25 0,12 0,08 0,03 0,02

1.c/ Quelle est la probabilité que plus de trois avions soient annulés le même jour ? (A > ) = ( = 4) + ( = 5) + ( = 6) = 0,08 + 0,03 + 0,02 = 0,13 ou avec la fonction de répartition :

( > 3) = 1 − ( ≤ 3)

= 1 − F(3) = 1 − 0,87 = 0,13

2/ Calculer

2.a/ l'espérance de X :

( ) = = × ( = )

h H"

= 1,75 ∈ [0; 6]

2.b/ la variance de X :

% &( ) = ( − 1.75)⁽× ( = )

h

H"

= ⁽× ( = )

h H"

− (1,75)⁽= 5,13 − (1,75)⁽= 2,0675

2.c/ l'écart-type de X :

' = *% &( ) = *2,0675 ≃ 1,438

3/ Sachant que l'annulation d'un vol coûte 10 000 € à la compagnie aérienne, calculer :

3.a/ le coût moyen journalier engendré par ces annulations.

On définit une nouvelle variable aléatoire . = 10 000X

qui donne le coût journalier engendré par les annulations de vols.

Par linéarité, (.) = 10000 × ( ) = 10000 × 1,75 = 17500 Le coût moyen journalier engendré par ces annulations est de 17 500 €

3.b/ Vous calculerez également sa variance et son écart-type.

Variance

%(.) = 10000⁽× %( ) = 10000⁽× 2,0675 = 206750000 et écart-type

'(.) = *% &(.) = √206750000 ≃ 14378,8 Ou '(.) = QO10 000P⁽× % &( ) = 10000 × '( ) ≃ 14380

> Exercice 8 – TD-CH3

Un grand magasin est doté d'un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incendie se déclare sur un des étages. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut.

La compagnie d’assurance estime que la probabilité qu’un incendie se produise est de 0,05.

Le cahier des charges de l’installateur assure qu’en cas d'incendie, l’alerte est donnée avec une probabilité de 0,98.

Cependant, il déclare aussi que, lorsqu’il n’y a pourtant pas de d'incendie, l’alarme peut se déclencher sans raison avec une probabilité de 0,04.

On notera I l'événement « un incendie se produit » et A l'événement « l’alarme se déclenche » On arrondira les résultats à 10^-4 près.

1/ Traduire les probabilités de l'énoncé.

D'après le texte,

(b) = 0,05

ng gp 2 u< g<km<sgm (n kℎ <o b), _{(J) =0,98 et

ng gp <^l2 v n s^lg<km<sgm (n kℎ <o b̅), {a(J) =0,04

2/ Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche ? on utilise la formule des probabilités totales :

(J) = (J ∩ b) + (J ∩ ba)

= (b) × {(J) + (ba) × _{a(J)

= 0,05 × 0,98 + 0,95 × 0,04 = 0,087

3/ Si l'alarme se déclenche (sachant A), quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait en fait pas d’incendie ?

}(ba) = (J ∩ ba)

(J) =0,95 × 0,04

0,087 ≃ 0,437

4/ La compagnie d'assurance estime qu'en moyenne, pour le magasin, le coût des anomalies est le suivant : 1 500 € s'il y a eu un incendie et que l'alarme a fonctionné ;

10 000 € s'il y a eu un incendie et que l'alarme n'a pas fonctionné ; 1 000 € si l’alarme se déclenche par erreur.

On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.

Soit X la variable aléatoire représentant le coût journalier des anomalies pour le magasin.

4.a/ Construire le tableau de distribution de X.

IM(X) : xi 0 1000 1500 10000

P(X=xi) (ba ∩ Ja) = 0,912 (ba ∩ J) = 0,038 (b ∩ J) = 0,049 (b ∩ Ja) = 0,001

4.b/ Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?

( ) = = I × ( = I)

N∈@";5""";57"";5""""D

= 121,5 ∈ [0; 10000]