TD-Chapitre 2
Probabilités conditionnelles
CORRECTION EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 2
FORMULES DE BAYES
> Exercice 1 – TD-CH2
Soit A et B deux événements pour lesquels on a observé que :
Ils sont réalisés simultanément dans 15% des cas ∩ 0,15
A est réalisé seul dans 35% des cas ∩ 0,35
B est réalisé seul dans 45% des cas. ∩ 0,45
1/ Donner, en la justifiant, la probabilité de réalisation de A On écrit A sur la partition { ; } de Ω : ∩ ∪ ∩
les 2 événements étant incompatibles (ensembles disjoints) on obtient par additivité :
∩ ∩ 0,15 0,35 0,5
Même question pour B.
On écrit B sur la partition { ; } de Ω : ∩ ∪ ∩ ̅
les 2 événements étant incompatibles (ensembles disjoints) on obtient par additivité :
∩ ∩ 0,15 0,45 0,6
Exprimer les probabilités conditionnelles :
2/ Probabilité de réalisation de A, sachant que B est réalisé
⁄ ∩ 0,15
0,6 1 4 3/ Probabilité de réalisation de B, conditionnellement à celle de A
⁄ ∩ 0,15
0,5 3 10 4/ Probabilité de non-réalisation de A, sachant que B est réalisé
⁄ ∩ 0,45
0,6 3 4
ou bien 1 1
5/ Probabilité de réalisation de A, sachant que B n’est pas réalisé
⁄ ∩ 0,35
1 0,6 7 8 P A ∩
0.35
P ̅ ∩ 0.45
ARBRE DE PROBABILITES
> Exercice 2 – TD-CH2
On considère une loterie dont certains tickets sont gagnants. Dans cette loterie, il y a des tickets jaunes et des tickets bleus :
Il y a autant de ticket de chaque couleur :
!
On sait que la probabilité que le ticket soit gagnant (événement G) est de 0,65 s’il s’agit d'un ticket jaune
G ≔ $| 0,65
et qu’elle est de 0,55 s’il s’agit d'un ticket bleu
$ ≔ G|B 0,55.
Un joueur choisit un ticket au hasard.
1/ Quelle est la probabilité que le ticket soit gagnant ? On cherche la probabilité de l’événement G
On décompose G sur la partition { ; } de Ω (ens. de tous les billets): $ $ ∩ ∪ $ ∩
Réunion de 2 ensembles, et les 2 ensembles sont disjoints, donc on obtient par additivité :
$ $ ∩ $ ∩
soit en utilisant le conditionnement par '( :
$ ) $⁄ ) $⁄ 0,5 ) 0,65 0,5 ) 0,55 0,6
2/ On apprend que le joueur a obtenu un ticket gagnant.
On travaille donc conditionnellement à la réalisation de G.
2.a/ Quelle est la probabilité que le ticket soit bleu ?
⁄$ * ∩ $
$
) $⁄
$
0,5 ) 0,55 0,6
11
24≃ 0,4583 2.b/Quelle est la probabilité que le ticket soit jaune ?
⁄$ ∩ $
$
) $⁄
$
0,5 ) 0,65 0,6
13
24≃ 0,5417
ou par complémentaire
$
⁄ 1 ⁄$ 13
24 ou
* 1 * B 13
24
NB : pour utiliser la probabilité du complémentaire, il faut que le conditionnement (ici G) soit fixé.
Si on change le conditionnement, à l’un des deux termes, c’est faux.
TRADUCTION D'ENONCE
> Exercice 3 – TD-CH2
Dans un grand restaurant, on a constaté que 15 % des clients mangent « à la carte » C: «Le client mange à la carte »
- 0,15
et les autres choisissent un menu : on a donc -son complémentaire « Le client choisit le menu » d'où (-) = 1 − (-) = 0,85
On définit maintenant l'événement D: « le client prend un dessert »
Parmi les clients choisissant la formule « à la carte » (sachant C), 30 % prennent un dessert,
.(/) = (/ -⁄ ) = 30 100= 0,3
contre 45 % des clients choisissant un menu :
.̅(/) = (/ -⁄ ) = 45
100= 0,45
On interroge au hasard un client ayant pris un dessert (sachant D) Quelle est la probabilité qu'il ait choisi la formule « à la carte » ? On cherche
(- /⁄ ) = (- ∩ /) (/) (Formule de Bayes)
par probabilités composées : (- ∩ /) = (/ -⁄ ) × (-) = 0,3 × 0,15 = 0,045
et, par probabilités totales, la proportion de desserts (globale) est : (/) = (- ∩ /) + (- ∩ /) Soit avec les conditionnements :
(/) = (/ -⁄ ) × (-) + (/ -⁄ ) × (-)
A.N.: (/) = 0,3 × 0,15 + 0,45 × 0,85 = 0,4275 soit une proportion de 42,75% de desserts
ainsi
(- /⁄ ) = (- ∩ /)
(/) = 0,045
0,4275≃ 0,1053
Bilan : dans cette configuration, 10.53% des desserts sont pris par les clients qui commandent "à la carte".
REALISATIONS SIMULTANEES OU SUCCESSIVES
> Exercice 4 – TD-CH2
On considère 3 maraîchers (désignées par A, B et C) qui cultivent des salades. On s’intéresse au pourcentage de salades dévastées par les limaces pour chacun d’entre eux. On observe que :
A cultive 35 % de la production de salades dont 4 % « dévastées » : B cultive 40 % de la production de salades dont 2 % « dévastées » C cultive 25 % de la production de salades dont 5 % « dévastées »
On note A (resp. B et C) l'événement « la salade provient du maraîcher A (resp. B et C) »
Les salades sont ensuite regroupées (donc mélangées).
On note D l'événement « la salade est dévastée » On traduit l'énoncé :
( ) = 0,35 ; ( ) = 0,4 '( (-) = 0,25 De plus,
0(/) = (/⁄ ) = 0,04 (/) = (/⁄ ) = 0,02 .(/) = (/ -⁄ ) = 0,05
1/ On prend une salade dans le stock.
Quelle est la probabilité qu’elle soit « dévastée » ? On cherche P(D)
et on utilise la formule des probabilités totales à l'aide de la partition {A,B,C} : (/) = (/ ∩ ) + (/ ∩ ) + (/ ∩ -)
(/) = ( ) × (/⁄ ) + ( ) × (/⁄ ) + (-) × (/ -⁄ ) et donc
(/) = 0,35 × 0,04 + 0,4 × 0,02 + 0,25 × 0,05 = 0,0345
Le stock contient 3,45 % de salades dévastées par les limaces.
2/ A nouveau, on prend une salade et on constate maintenant qu’elle est dévastée (sachant D).
Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par le maraîcher A ?
On cherche la probabilité de A, conditionnellement à D
1( ) = ( ⁄ ) =1 ( ∩ /)
2(1) =0,35 × 0,04
0,0345 ≃ 0,4058
Parmi les salades dévastées, environ 40,58 % proviennent du maraîcher A.
ERREUR COMMISE LORS D'UN TEST
> Exercice 5 – TD-CH2
On suppose maintenant qu’on effectue un test T qui permet de détecter les salades dévastées, parmi les maraîchers A, B et C précédents (cf. exercice 4), afin de les rejeter.
Soit D l’événement « la salade est dévastée ». On a obtenu en ex4 : 2(1) = 3. 3456 et T l’événement « la salade est rejetée ».
On observe alors que :
On rejette 98 % des salades qui sont réellement dévastées soit (7 /⁄ ) = 0,98 On conserve 97 % des salades non dévastées soit (7 /⁄ ) = 0,97
D’autre part, on a calculé la probabilité qu’une salade soit dévastée (/) = 0,0345
1/ Calculer la probabilité d’erreur lors du test.
Soit E événement « Il y a une erreur lors du test »
Il y a erreur lors du test
Si une salade non dévastée est rejetée / ∩ 7 ou si une salade dévastée n'est pas rejetée / ∩ 7 :
9 = (/ ∩ 7) ∪ (/ ∩ 7)
Les ensembles sont 2 à 2 disjoints donc, par additivité, (9) = (/ ∩ 7) + (/ ∩ 7) Puis avec les probabilités conditionnelles
(9) = (/) × (7 /⁄ ) + (/) × (7 /⁄ ) et donc
(9) = (/) × (1 − (7 /⁄ )) + (/) × (1 − (7 /⁄ ))
AN : (9) = (1 − 0,0345) × (1 − 0,97) + 0,0345 × (1 − 0,98) = 0,029655 Le test commet une erreur dans 2.96% des cas environ.
2/ Calculer la probabilité pour qu’une salade qui a été rejetée (sachant T) soit effectivement dévastée
On cherche :(/) = (/ 7⁄ ) :
(/ 7⁄ ) = (/ ∩ 7)
(7) = (/) × (7 /⁄ ) (7)
Les probabilités du numérateur étant connues, il reste à déterminer (7) par probabilités totales (7) = (7 ∩ /) + (7 ∩ /) = (/) × (7 /⁄ ) + (/) × (7 /⁄ ) AN : (7) = 0,0345 × 0,98 + (1 − 0,0345) × 0,03 = 0,062775
Bilan
(/ 7⁄ ) =0,0345 × 0,98
0,062775 ≃ 0,5386 ainsi seulement 53,86 % des salades rejetées sont effectivement dévastées
PROBABILITES COMPOSEES / PROBABILITES TOTALES
> Exercice 6 – TD-CH2
Dans une station-service, il y a trois pompes A, B et C qui délivrent chacune du gazole et du sans plomb.
Une enquête statistique sur la clientèle a permis d'établir que sur 1 000 clients, 400 vont se servir à la pompe A, 350 se servent à la pompe B et les autres à la pompe C.
1/ Quelle est la probabilité qu’un client se serve à la pompe A ? Même question pour B et C.
( ) = 400
1000= 0.4 ( ) = 350
1000= 0.35 (-) = 1 − 750
1000= 0.25
2/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenne du gazole ?
De plus, la probabilité pour que le client prenne du gazole est de :
0,7 s'il se sert à la pompe A 0($) = 0.7 0,4 s'il se sert à la pompe B (G) = 0.4 0,5 s'il se sert à la pompe C .(G) = 0.5
Soit G l'événement « le client prend du gazole »
On cherche P(G) et on utilise la formule des probabilités totales sur la partition {<,=,>} : ($) = ($ ∩ ) + ($ ∩ ) + ($ ∩ -)
($) = ( ) × <($) + ( ) × =(G) + (-) × >(G) et donc
($) = 0,4 × 0,7 + 0,35 × 0,4 + 0,25 × 0,5 = 0,545 Un client prend du gazole dans 54,5 % des cas.
3/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenant du gazole (sachant G) se serve à la pompe C ?
On cherche @(-) = (- $⁄ ) :
*(C) = (- ∩ $)
($) = (-) × .(G)
($) =0,25 × 0,5
0,545 = 0,2294
4/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenant du sans-plomb (sachant $) ne se serve pas à la pompe C (événement - c’est-à-dire A ou B)?
On cherche @(-̅) = (- $⁄ ) = ( ∪ ⁄ ) $
*( ∪ ) = *(A) + *(B) = ( ∩ $)
($) + ( ∩ $)
($) = ( ) × ($⁄ )
($) + ( ) × ($⁄ ) ($)
AN :
(- $⁄ ) =0,4 × (1 − 0,7)
1 − 0,545 +0,35 × (1 − 0,4)
1 − 0,545 =0,4 × 0,3
0,455 +0,35 × 0,6
0,455 = 0,7253
> Exercice 7 – TD-CH2
Une usine fabrique des clés USB dont 3% s’avèrent être défectueuses : (/) = 0,03
Après fabrication, les clés USB font l’objet d’un test (T) pour leur mise en vente.
Ce test est composé de 4 contrôles successifs et indépendants.
Ces 4 contrôles (Ci , i = 1,…,4) sont effectués sur des plates-formes identiques.
On a constaté que, pour chaque contrôle (Ci , i = 1,…,4), on rejette
98% des clés USB défectueuses B(R) = B(DE) = 0,98 et 1% des clés USB non défectueuses. BF(D) = (D /⁄ ) = BF(DE) = 0,01 Gù /: la clé USB est défectueuse D: la clé est rejetée DE: clé rejetée après le ième contrôle
A l’issue du test (T), les clés USB sont triées en 3 lots :
toute clé USB rejetée à au moins 2 contrôles Ci est détruite, (rejetée à 2 ou 3 ou 4 controles) toute clé USB acceptée aux 4 contrôles est vendue sous le nom de l’entreprise, (rejetée à 0 contrôle) toute autre clé USB est vendue en discount (rejetée à 1 seul contrôle)
1/ Décrire la situation, donner les probabilités et probabilités conditionnelles …
2/ Exprimer et calculer la probabilité d’erreur d’un contrôle.
Soit 9Il'événement « le contrôle commet une erreur », on a 9I = (/ ∩ D) ∪ (/ ∩ D) Réunion de 2 ensembles disjoints : par additivité on obtient
2(JK)= (/ ∩ D) + (/F ∩ D) = (/) × B(D) + (/F) × B(D) = 0,03 × 0,02 + 0,97 × 0,01 =3. 3L34
3/ Quelle est la probabilité qu’une clé USB soit rejetée lors d’un contrôle ?
2(M)= (/ ∩ D) + (/F ∩ D) = (/) × B(D) + (/F) × B(D) = 0,03 × 0,98 + 0,97 × 0,01 =3, 34NL
4/ Avec quelle probabilité une clé USB rejetée lors du 1er contrôle est-elle défectueuse ? 2M(1)= OP(/) = (/ ∩ D)
(D) =0,03 × 0,98
0,0391 ≅3. R6LN
5/ Avec quelle probabilité une clé USB acceptée lors du contrôle C3 fonctionne-t-elle ? 2MF(1F)= OS(/) = (/F ∩ D)
(D) =0,97 × 0,99
1 − 0,0391 ≅3. NNN5
/': clé détruite 9: clé vendue sous le nom de l'entreprise /TU : clé vendue en discount 6/ Quelle est la probabilité qu’une clé USB soit mise en vente sous le nom de l’entreprise ? (rejeté à 0 contrôle)
9 = D ∩ D!∩ DV∩ D
2(J)= (D ) × (D!) × (DV) × (D ) = (D) =(3, NW3X)5≅ 3. X6Y6 puisque (DF ) = 1 − (D) = 1 − 0.0391Z et par indépendance des événements DFZ
7/ Avec quelle probabilité une clé USB est-elle vendue en discount ? (rejeté à 1 seul contrôle) /TU = (D ∩ D!∩ DV∩ D ) ∪ (D ∩ D!∩ DV∩ D ) ∪ …
2(1\])= 4 × 0.0391 × 0.9608V≅3. L4XX car les événements sont disjoints et indépendants
8/ En déduire la probabilité qu’une clé USB soit détruite (rejeté à au moins 2 contrôles, soit 2 ou 3 ou 4 parmi 4) En utilisant la partition {/'; 9; /T}, on obtient :
2(1^)= 1 − (9) − (/TU) = 1 − 0,8525 − 0,1388 ≅3. 33XR
> Exercice 8 – TD-CH2
Le personnel d'un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).
12% du personnel sont des médecins, (_) = 0,12
71% sont des soignants, (`) = 0,71
les autres sont des AT. ( ) = 1 − 0,12 − 0,71 = 0,17
On sait que 25% du personnel sont des hommes (a) = 0,25 D’autre part :
67% des médecins sont des hommes, b(a) = (a _⁄ ) = 0,67 92% des soignants sont des femmes. c(d) = ( (a `⁄ ) = 0,92 On appelle les événements :
M : « la personne interrogée est un médecin » S : « la personne interrogée est un soignant » A : « la personne interrogée est un AT » H : « la personne interrogée est un homme » On interroge un membre du personnel.
1/ A partir de ces données, exprimer toutes les probabilités, probabilités conditionnelles …
2/ Lorsque la personne interrogée est un homme, quelle est la probabilité pour qu’il soit un médecin ? On cherche e(_) = (_ a⁄ ) : Par probabilités totales, on obtient
(_ a⁄ ) = (_ ∩ a)
(a) = (_) × (a _⁄ )
(a) =0,12 × 0,67
0,25 = 0,3216 Ainsi 32,16 % des hommes sont médecins.
3/ Quelle est la probabilité d'interroger une femme soignante ? On cherche c(aF) = (a ∩ `) : par probabilités composées, on a
(a ∩ `) = (`) × (a `⁄ ) = 0,71 × 0,92 = 0,6532 Alors 65,32 % du personnel sont des femmes soignantes.
4/ Quelle est la probabilité d'interroger un membre du personnel AT (événement A) sachant que c'est une femme (non-H) et (intersection) qu'elle n'est pas médecin (non-M) ?
On cherche eF∩b( ) = ( ⁄a∩ _) : En écrivant la formule de Bayes on a
( ⁄a∩ _) = ( ∩ a ∩ _)
(a ∩ _) = ( ∩ a) (a ∩ _)
Or au numérateur, en écrivant la décomposition de a sur la partition {_; ; `} :
( ∩ a) = (a) − (_ ∩ a) − (` ∩ a) = 0,75 − 0,12 × 0,33 − 0,71 × 0,92 = 0,0572
et au dénominateur, puisque _F = `∪ (un non-médecin est soit un soignant (S), soit (ou) un administratif (A))
(a ∩ _) = (a ∩ `) + (a ∩ ) = 0,71 × 0,92 + 0,0572 = 0,7104
On obtient, en bilan :
( ⁄a∩ _) =0,0572
0,7104≃ 0,0805
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 2
> Exercice 9 – TD-CH2
Un cinéma d'une ville de province propose soit des films en version numérique, soit des films en version 3D.
Leur clientèle est répartie en 3 catégories :
les moins de 12 ans (M) (25% de la clientèle), (_) = 0,25 les pleins tarifs (T) (45% de la clientèle) (7) = 0,45
et les seniors de plus de 65 ans (S). (`) = 1 − 0,25 − 0,45 = 0,3
Une enquête, réalisée auprès d’un échantillon de clients, a permis d’estimer la probabilité de choix d'un film en 3D (D) pour une séance donnée :
0,2 pour un sénior c(/) = (/ `⁄ ) = 0,2 0,55 pour un « plein tarif » :(/) = (/ 7⁄ ) = 0,55 0,75 pour un « moins de 12ans ». b(/) = (/ _⁄ ) = 0,75
Avant d’aborder les questions suivantes, on a traduit de manière précise la situation présentée. On complètera par l'arbre de probabilités complet, en écrivant toutes les probabilités (partition + conditionnelles).
1/ Quelle est la probabilité qu’un client de ce cinéma choisisse un film en 3D ?
On cherche P(D) et on utilise la formule des probabilités totales à l'aide de la partition {_, 7, `} : (/) = (/ ∩ _) + (/ ∩ 7) + (/ ∩ `) = (_) × (/ _⁄ ) + (7) × (/ 7⁄ ) + (`) × (/ `⁄ ) et donc (/) = 0,25 × 0,75 + 0,45 × 0,55 + 0,3 × 0,2 = 0,495
2/ Un client a choisi un film en version numérique (sachant /F). Quelle est la probabilité que ce client soit un
« plein tarif » (événement T) ?
BF(7) = (7 /⁄ ) = (7 ∩ /)
(/) = (7) × (/ 7⁄ )
1 − (/) =0,45 × 0,45 0,505 ≃ 0,4
On suppose maintenant qu’un client, d’une catégorie donnée, choisisse un film en 3D indépendamment et avec la même probabilité d’une séance sur l’autre. On considère 2 séances consécutives.
ATTENTION : l'indépendance se rapporte aux probabilités conditionnelles b; :et c 3/ Quelle est la probabilité qu’un client choisisse un film en 3D deux séances consécutives ?
On note /E : «le client choisit une séance 3D à la ième séance», on cherche alors (/ ∩ /!) : avec la partition / ∩ /!= (/ ∩ /!∩ _) ∪ (/ ∩ /!∩ 7) ∪ (/ ∩ /!∩ `)
et donc (/ ∩ /!) = (/ ∩ /!∩ _) + (/ ∩ /!∩ 7) + (/ ∩ /!∩ `) puis avec les probabilités conditionnelles
(/ ∩ /!) = (_) × b(/ ∩ /!) + (7) × :(/ ∩ /!) + (`) × c(/ ∩ /!) On utilise alors « l'indépendance par catégorie » :
(/ ∩ /!) = (_) × b(/ ) × b(/!) + (7) × :(/ ) × :(/!) + (`) × c(/ ) × c(/!) AN : (/ ∩ /!) = 0,25 × 0,75!+ 0,45 × 0,55!+ 0,3 × 0,2!= 0,28875
4/ Quelle est la probabilité qu’un « moins de 12 ans » choisisse un film 3D la 2ème séance sachant qu’il a choisi un film 3D la 1ère séance ? On cherche BP(/!⁄ )ou encore _ (/!⁄_∩ / ) :
(/!⁄_∩ / ) = (/!∩ _ ∩ / )
(_ ∩ / ) = (_) × b(/ ∩ /!)
(_ ∩ / ) = (_) × b(/ ) × b(/!) (_ ∩ / ) AN : (/!⁄_∩ / ) =f,!g×f,hg
i f,!g×f,hg = 0,75
5/ Ce cinéma lance une opération promotionnelle pour sa clientèle « plein tarif ». Suite à cette promotion, la probabilité de choix d'un film 3D, qui était de 49,5%, passe à 58%. Quelle est alors la probabilité de choisir un film 3D sachant que ce choix est fait par un « plein tarif » (ayant profité de la promotion).
(/) = (_) × (/ _⁄ ) + (7) × (/ 7⁄ ) + (`) × (/ `⁄ ) 0,58 = 0,25 × 0,75 + 0,45 × (/ 7⁄ ) + 0,3 × 0,2
On en déduit que : (/ 7⁄ ) =f,gjkf, jhgkf,fl
f, g ≃ 0,7389
Après la promotion, la proportion de « plein tarif » qui choisissent un film en 3D passe de 55% à environ 74%,
> Exercice 10 – TD-CH2
On étudie ici l'impact d'un médicament pour le traitement d'une maladie donnée. On travaille à partir d’un échantillon d’individus tous atteints de cette maladie.
Afin de tester l’efficacité du médicament M, on classe les individus atteints de cette maladie en fonction de l’âge, répartis en 3 sous-populations :
20% sont dans la catégorie A1 (18-40 ans) ( ) = 0.20 30% sont dans la catégorie A2 (40-60 ans) ( !) = 0.30 50% sont dans la catégorie A3 (plus de 60 ans) ( V) = 0.50 { , ! , V} est ainsi une partition de l'ensemble Ω des malades, classés par âge.
Le médicament M est donné à :
65% de malades parmi ceux de la catégorie A1 0P(_) = (_| ) = 0,65
70% de malades parmi ceux de la catégorie A2 0i(_) = (_| !) = 0,70
50% de malades parmi ceux de la catégorie A3 0S(_) = (_| V) = 0,50
Les autres malades reçoivent un placébo, qui a le même emballage que le médicament précédent mais dont le contenu est sans effet.
Suite à cette étude, la probabilité conditionnelle d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours (événement noté E) est estimée par les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous, pour un malade d’une catégorie donnée et ayant ou n’ayant pas reçu le médicament :
A1 A2 A3
Ayant reçu le médicament M
(9 _⁄ ∩ ) = 0,3 (9 _⁄ ∩ !) = 0,6 (9 _⁄ ∩ V) = 0,3
Ayant reçu le placébo _F (9 _⁄F∩ ) = 0,1 (9 _⁄F∩ !) = 0,2 (9 _⁄F∩ V) = 0,2
1/ Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre. Donner la signification et la traduction mathématique de chaque probabilité (intersection, conditionnement,...). Expliquer par quels calculs l'arbre a été complété.
Voir page suivante.
2/ Calculer la probabilité qu'un malade ait reçu le médicament.
(_) = (_ ∩ ) + (_ ∩ !) + (_ ∩ V)
(_) = ( ) × (_⁄ ) + ( !) × (_⁄ !) + ( V) × (_⁄ V)
(_) = 0,2 × 0,65 + 0,3 × 0,7 + 0,5 × 0,5 = 0,59 donc 59% des malades ont reçu le médicament
3/ Quelle est la probabilité qu'un malade ait entre 40 et 60 ans ( !) et (intersection) ait reçu le placébo (au lieu du médicament M) ?
(_F ∩ !) = ( !) × 0i(_F)
= ( !) × (1 − 0i(_)) = 0,3 × (1 − 0,7) = 0,09
9% des malades ont entre 40 et 60 ans et non pas reçu le médicament
Arbre de probabilité complet :
ensemble des malades Ω
(100%)
A
1classe d'âge 18-40 ans
P(A
1) = 0,20 (20%)
A
2classe d'âge 40-60 ans
P(A
2) = 0,30 (30%)
A
3classe d'âge des + de 60 ans
P(A
3) = 0,50 (40%)
M
médicament donné aux 18-40 ans
P(M|A
1) = 0,65
_F
placébo donné aux 18-40 ans
P(
_F|A
1) = 0,35
M
médicament donné aux 40-60 ans
P(M|A
2) = 0,70
_F
placébo donné aux 40-60 ans
P(
_F|A
2) = 0,30
M
médicament donné aux +de60 ans
P(M|A
3) = 0,50
_F
médicament donné aux +de60 ans
P(
_F|A
3) = 0,50
E
(9 _⁄ ∩ ) = 0,3 9
(9 _⁄ ∩ ) = 0,7
E
(9 _⁄F∩ ) = 0,1 9
(9 _⁄F∩ ) = 0,9
E
(9 _⁄ ∩ !) = 0,6 9
(9 _⁄ ∩ !) = 0,4
E
(9 _⁄F∩ !) = 0,2 9
(9 _⁄F∩ !) = 0,8
E
(9 _⁄ ∩ V) = 0,3 9
(9 _⁄ ∩ V) = 0,7
E
(9 _⁄F∩ V) = 0,2 9
(9 _⁄F∩ V) = 0,8
4/ Quelle est la probabilité d'amélioration de l'état (probabilité de E ) dans le cas (sachant ) d'un malade ayant entre 40 et 60 ans (A2) et (intersection) ayant reçu le placébo (complémentaire de M) ?
bF∩0i (9) = (9 _⁄F∩ !) = 0,2 lu dans le tableau initial.
Ainsi, Parmi les malades de 40-60 ans n'ayant pas reçu le médicament, il y en a 20% qui voient leur état s'améliorer au bout de 3 jours.
5/ Calculer la probabilité d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours.
(9) = (9 ∩ _ ∩ ) + (9 ∩ _F ∩ ) + (9 ∩ _ ∩ !) + (9 ∩ _F ∩ !) + (9 ∩ _ ∩ V) + (9 ∩ _F ∩ V) NB : 6 contributions (cases) dans le tableau de la question 1/ donc 6 termes dans ce calcul
(9) = ( ) × (_⁄ ) × (9 _⁄ ∩ ) + ( ) × (_F⁄ ) × (9 _⁄F∩ )+. ..
(9) = 0,2 × 0,65 × 0,3 + 0,2 × 0,35 × 0,1 + 0,3 × 0,7 × 0,6 + 0,3 × 0,3 × 0,2 + 0,5 × 0,5 × 0,3 + 0,5 × 0,5 × 0,2 (9) = 0,315 31,5% des malades voient leur état s'améliorer au bout de trois jours.
6/ Quelle est la probabilité qu'un malade ait reçu le vrai médicament M et (intersection) que son état s'améliore au bout de 3 jours ?
(9 ∩ _) = (9 ∩ _ ∩ ) + (9 ∩ _ ∩ !) + (9 ∩ _ ∩ V) NB : on peut réutiliser le calcul précédent
(9 ∩ _) = ( ) × (_⁄ ) × (9 _⁄ ∩ ) + ( !) × (_⁄ !) × (9 _⁄ ∩ !)+. ..
(9 ∩ _) = 0,2 × 0,65 × 0,3 + 0,3 × 0,7 × 0,6 + 0,5 × 0,5 × 0,3 = 0,039 + 0,126 + 0,075 = 0,24 Il y a 24% des malades qui ont reçu le médicament et dont l'état s'améliore au bout de 3 jours.
7/ Pour un malade ayant reçu le médicament M (sachant M), calculer la probabilité avec laquelle son état s’est amélioré au bout de 3 jours (probabilité de E).
b(9) = (9 _⁄ ) = (9 ∩ _) (_) =0,24
0,59= 0,4067 ≃ 0,4
Parmi les malades qui ont reçu le médicament, il y en a 40% dont l'état s'améliore en 3 jours.
8/ Calculer et traduire (9 ∩ _F ∩ !).
(9 ∩ _F ∩ !) = ( !) × 0i(_F) × bF∩0i(9) (9 ∩ _F ∩ !) = 0,3 × 0,3 × 0,8 = 0,072 Il y a 7,2% des malades qui ont entre 40 et 60 ans
et ont reçu le placébo
et dont l'état ne s'est pas amélioré au bout de 3 jours.
