Il s’agit de calculer la probabilité de l’événementA∩V

Extraits BACS BLANC - févier 2017 - Lycées Georges Leygues/Albert Claveille

EXERCICE 1

Partie A

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

• A : « la bille a été fabriquée par la machine A» ;

• B : « la bille a été fabriquée par la machine B» ;

• V : « la bille est vendable ».

1. De façon évidente et compte-tenu des choix de noms d’événements : P(V) = 0,96, P(A) = 0,4 et PA(V) = 0,99.

0.4 A

0,99 V 0,01 V

0,6 B

0,94 V 0,06 V 2. Il s’agit de calculer la probabilité de l’événementA∩V.

P(A∩V) =P(A)×PA(V) = 0,4×0,99 = 0,396.

3. Comme V = (A∩V)∪(B∩V) et que les événements A∩V etB∩V sont incompatibles

P(A∩V) +P(B∩V) =P(V)⇔0,396 +P(B∩V) = 0,96⇔P(B∩V) = 0,96−0,396 = 0,564 On en déduit que PB(V) = P(B∩V)

p(B) = 0,564

0,6 = 0,94.

La probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machineB est donc égale à 0,94.

4. Un technicien affirme que 90% des billes non vendables proviennent de la machineB. A-t-il raison ? Il s’agit de calculer P_V(B) = P(V ∩B)

P(V) = 0,6×0,06

1−0.96 = 0,9 soit 90%. Le technicien a raison.

Partie B

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire. Les sachets sont tous composés de 40 billes.

1. Choisir une bille dans un sachet est une épreuve de Bernoulli : elle est noire ou elle ne l’est pas.

On répète indépendamment le choix d’une bille dans le sachet.X la variable aléatoire qui compte le nombre de billes noires dans un sachet suit donc une loi binomiale de paramètres 40 et 1

5. (5 couleurs possibles et billes teintées de manière équiprobable)

2. P(X= 10) = 40 10

!1 5

¹⁰4 5

⁴⁰₋¹⁰

≈0,107 arrondi à 10⁻³.

3. La machine ne permet pas de calculerP(106X615) directement donc,

P(106X615) =P(X615)−P(X 69)≈0,997−0,732≈0,265 arrondi à 10⁻³.

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Extraits BACS BLANC - févier 2017 - Lycées Georges Leygues/Albert Claveille

EXERCICE 2 (4 points)

On considère la fonction f définie surC− {−2}par f(z) = z−3 z+ 2. 1. f(1 + i) = 1 + i−3

1 + i + 2 = −2 + i

3 + i = −2 + i

3 + i × 3−i

3−i = −5 + 5i 10 =−1

2+1 2i.

2. Il s’agit cette fois de résoudref(z) = 2i pourz∈C− {−2}. z−3

z+ 2 = 2i⇔z−3 = 2i(z+2)⇔(1−2i)z= 3+4i⇔5z= (3+4i)(1+2i)⇔5z=−5+10i⇔z=−1+2i (il convient car il est différent de −2)

L’antécédent de 2i par la fonction f est donc −1 + 2i.

3. f(z) =z⇔ z−3

z+ 2 =z⇔z−3 =z²+ 2z⇔z²+z+ 3 = 0.

On trouve S=

(−1 + i√ 11

2 ,−1−i√ 11 2

)

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