DE PROBABILIT&Eacute

Texte intégral

(1)Chapitre. 5. L OIS. DE PROBABILITÉ ,. LOI BINOMIALE. 1. P OURQUOI CE CHAPITRE ?. Le hasard possède certaines lois. L'étude des probabilités permet de mieux comprendre ces lois et ainsi de prendre des décisions dans divers domaines : nance, assurances, pharmacologie, météorologie, politique, jeux de hasard.... 2. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE PROBABILITÉ Exercice 1 9 14 11 8 16. 12. 7. 5 20 1. 19 3 17. 18. 2. 4 13 6 10 15. On lance une échette au hasard, les yeux fermés, vers la cible. Lorsqu'une échette arrive sur la cible, on note X le nombre de points du secteur dans lequel elle s'est plantée. Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?. Exercice 2 On lance deux dés cubiques classiques. On note X la somme des points obtenus. Quelles valeurs peut prendre X ?. Exercice 3. Une urne contient 5 boules rouges et 4 boules bleues indiscernables au toucher. On prélève au hasard 6 boules de l'urne et on note X le nombre de boules rouges prélevées. Donner les valeurs possibles de X . 1. LYCÉE B LAISE PASCAL. S.D ELOBEL.

(2) 2. Chapitre 5. Lois de probabilités. Exercice 4. On a trempé un cube dans la peinture rouge. Ensuite, on l'a découpé en 27 petits cubes (comme le montre le schéma ci-contre), indiscernables au toucher, que l'on a mis dans un sac. On prend un petit cube au hasard dans le sac et on note X le nombre de faces peintes de celui-ci. Faire la liste des valeurs possibles de X .. Exercice 5. 100. Antoine joue au jeu suivant : il lance une pièce de monnaie normale . Il gagne 10 e s'il obtient pile, et perd 5 e s'il obtient face. Il lance la pièce deux fois de suite. X désigne le gain (éventuellement négatif si c'est une perte...) obtenu. Quelles valeurs peut prendre X ?. Vocabulaire Dans chacun des exercices précédents, on dit que X est une variable aléatoire, car on ne sait pas d'avance quelle valeur elle va prendre parmi ses valeurs possibles.. Notation. P (X = k) désigne la probabilité que X prenne la valeur k .. Exemple 1 Dans l'exercice 1, P (X = 17) = l'exercice 5, P (X = 20) = 14 .. 1 20. ; dans l'exercice 2, P (X = 2) =. 1 36. ; et dans. Vocabulaire Donner la loi de probabilité de X , c'est donner la probabilité de chacune des valeurs que peut prendre X , c'est-à-dire donner P (X = k) pour tous les k possibles. Souvent, on présente la loi de probabilité de X dans un tableau du type k x1 x2 ... xn P (X = k) p1 p2 ... pn. Exercice 6. Pour chacun des exercices 1,2, 4 et 5 donner la loi de X .. Pour savoir si un jeu est équitable ou non (par exemple dans l'exercice 5), on peut calculer la moyenne des gains, coecientée 1 par les probabilités associées. Le nombre obtenu est la moyenne que l'on peut espérer avoir sur un grand nombre de parties (ici, le gain moyen) : c'est l'espérance mathématique de la variable aléatoire X . On la note E(X). Il existe aussi des indicateurs qui permettent de mesurer la dispersion de X autour de son espérance : la variance V (X), et l'écart-type σ(X). 1. on dit aussi pondérée ..

(3) 3. Cours de Première STI 2D. Exercice 7. On donne les formules générales : E(X) = p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn . V (X) = p1 x21 + p2 x22 + · · · + pn x2n − E(X)2 . p σ(X) = V (X).. Calculer E(X), V (X) et σ(X) pour la variable X de l'exercice 5.. 3. É PREUVE DE B ERNOULLI , SCHÉMA DE B ERNOULLI Exercice 8. Une urne contient 2 boules blanches et 1 noire indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule, on la remet dans l'urne, puis on eectue un deuxième tirage.. 1. Représenter la situation par un arbre. 2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules noires. Dans l'exercice ci-dessus, on peut représenter l'arbre de deux manières diérentes : Version éclatée Version pondérée . N. B. B. N. (N ; N ). B. (N ; B). B. (N ; B). N. (B ; N ). B. (B ; B). B. (B ; B). N. (B ; N ). B. (B ; B). B. (B ; B). 1 3. 2 3. 1. 1 3. N P (N ; N ) = 9. 2 3. B P (N ; B) = 9. 1 3. N P (B ; N ) = 9. 2 3. B P (B ; B) = 9. N 2 1. B. Il est en général préférable (car plus économique et plus pratique) d'utiliser un. 4. arbre pondéré.. Dénition 1. On appelle épreuve de Bernoulli (de paramètre p) toute expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : l'une appelée succès, noté S , dont la probabilité est p ; l'autre appelée échec, noté E (ou S ), dont la probabilité est q = 1 − p.. Exemple 2. Chacun des deux tirages de l'exercice 8 est une épreuve de Bernoulli. Le succès est par exemple l'événement tirer une boule noire , sa probabilité est p = 13 ..

(4) 4. Chapitre 5. Lois de probabilités. Dénition 2. Un schéma de Bernoulli (de paramètres n,p) est une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois, de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli (de paramètre p).. S. (S ; S). 1−p. E. (S ; E). p. S. (E ; S). 1−p. E. (E ; E). p p. Propriété 3.. S. 1−p. E. Exemple 3. La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même n÷ud est égale à 1. La probabilité d'un événement est le produit des probabilités portées sur les branches du chemin aboutissant à cet événement.. Exemples de schémas de Bernoulli. la situation de l'exercice 8 ; lancer une même pièce de monnaie plusieurs fois de suite et observer si on obtient pile ou face ; répondre au hasard aux questions d'un vrai/faux ; prélever (et remettre) plusieurs pièces au hasard dans une chaîne de fabrication et observer si elles sont défectueuses ou non.. Si dans l'exercice 8 les tirages se font sans remise, la situation ne correspond plus à un schéma de Bernoulli (car les épreuves successives ne sont plus identiques). I p.201 ex 23, 24, 22 ; TP : p.201 ex 26. 4. L A LOI BINOMIALE Exercice 9. Un candidat à un jeu télévisé doit répondre à deux questions successives. Chaque question ore quatre possibilités de réponse, dont une seule est correcte. Le candidat, ne connaissant aucune des réponses, répond totalement au hasard à chaque question. 1. Justier que cette expérience correspond à un schéma de Bernoulli dont vous préciserez les paramètres, et illustrer la situation par un arbre pondéré. 2. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat. a. Quelles valeurs peut prendre X ? b. Dans un tableau, présenter la loi de X . c. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait au moins une bonne réponse ? d. Calculer l'espérance mathématique de X ..

(5) 5. Cours de Première STI 2D. Exercice 10. Reprendre l'exercice 9 dans le cas où le candidat doit répondre à quatre questions successives.. Dans l'exercice précédent, le schéma de Bernoulli a pour paramètres n = 4 et p = 14 . L'arbre est déjà grand ! p. S. 1−p. p. S. p 1−p p. E. 1−p. S. 1−p. E. 1−p. S 1−p p. E. p. 1−p. p. S. 1−p. 1−p. p. p. p. p. S. 1−p. E. 1−p. p. E 1−p p. E. 1−p. p. S. 1−p. E. 1−p. p. S. E S E S E S E S E S. Pour calculer P (X = 3) par exemple : on ajoute les probabilités des chemins contenant 3 succès et 1 échec. Il y a 4 chemins contenant 3 succès et 1 échec (SSSE, SSES, SESS et ESSS). Chaque chemin a pour probabilité p3 × (1 − p). Ce qui donne : P (X = 3) = 4 × p3 × (1 − p).. E S E S E. Lorsque l'arbre est encore plus grand, il n'est pas facile voire impossible de le dessiner. Il devient dicile aussi de compter le nombre de chemins comportant k succès, et donc de calculer à la main P (X = k). Pour ce genre de calculs, nous aurons donc recours à la calculatrice ou l'ordinateur. Et plutôt que de donner toutes les valeurs de P (X = k) pour décrire la loi de X , donnons lui un nom qui nous permet de l'identier totalement :. Dénition 4. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.. Notation. X ∼ B (n; p).. Voir la che calculatrice pour savoir comment calculer P (X = k) à la machine. Avec GeoGebra, choisir l'outil Calculs probabilités ..

(6) 6. Chapitre 5. Lois de probabilités. Exercice 11. Reprendre l'exercice 9 en utilisant la calculatrice.. On peut représenter graphiquement une loi binomiale. Par exemple ici, la loi binomiale de l'exercice 9, mais avec 20 questions : P (X = k) 0.2. B (20 ; 0, 25). 0.15 0.1 0.05. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k. Notons que, bien sûr, aucune des probabilités P (X = k) n'est parfaitement nulle, mais pour certaines valeurs de k, P (X = k) est tellement proche de 0 qu'on ne voit pas le bâton correspondant dans le diagramme en barre ci-dessus.. Exercice 12. On considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 5367. 1. Représenter par un diagramme cette loi binomiale (avec GeoGebra ou un tableur). 2. Calculer les probabilités suivantes (donner une valeur approchée à 10−3 près) :. a. b.. P (X = 2) P (X = 7). c. d.. P (X 6 2) P (X < 5). e. f.. P (X > 6) P (X > 3). g. h.. P (2 < X 6 6) P (1 6 X 6 8). I p.203 ex 31, 32, 34 ; p.204 ex 36, 38. Exercice 13 1. On reprend l'énoncé de l'exercice 9. Répondre aux deux questions suivantes sans. aucun calcul, juste en faisant appel à votre bon sens : a. Si le questionnaire comporte 4 questions successives, combien le candidat peut-il espérer en moyenne avoir de bonnes réponses ? b. Et pour un questionnaire de 20 questions successives ? 2. Vérier les deux résultats ci-dessus en faisant calculer l'espérance mathématique des lois binomiales concernées grâce à un tableur ou à Algobox. 3. Conjecturer une formule très simple permettant d'obtenir l'espérance d'une loi binomiale B (n; p)..

(7) 7. Cours de Première STI 2D. Propriété 5. Soit X ∼ B (n; p). Alors :. Preuve. E(X) = np V (X) = np(1 − p) p σ(X) = np(1 − p).. Exercice 14. Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si lorsqu'il parvient à leur niveau le signal est vert, il passe ; si le signal est orange ou rouge, il s'arrête. Les feux sont réglés de telle sorte que lorsque l'automobiliste se présente à l'un d'eux, la probabilité que le signal soit orange ou rouge est 15 . On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de feux du trajet où le signal est orange ou rouge. 1. Quelle est la loi de X ? Justier. 2. Donner la probabilité que l'automobiliste ait tous les feux au vert. 3. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X . 4. Supposons cette fois-ci que son trajet comporte cinq feux. a. Quelle est la loi de X ? b. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre au moins un feu rouge ? c. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de X . I p.204 ex 39d), 40 ; p.205 ex 41 I Problèmes : p.208 ex 56, 57, 59, 62. 5. P REUVES Preuve de. 5.. Nous allons simplement donner ici une idée de la démonstration de E(X) = np. Appelons X1 la variable aléatoire qui vaut 1 ou 0 selon qu'on a obtenu un succès ou un échec lors de la première épreuve de Bernoulli. Même chose pour X2 lors de la deuxième épreuve, X3 lors de la troisième, ... ,Xn lors de la n−ième. Alors, comme X compte le nombre de succès lors des n épreuves, on a : X = X1 + X2 + · · · + Xn . Il est facile de voir que l'espérance de chacune des variables Xi est 0 × (1 − p) + 1 × p = p. Et donc, par linéarité de l'espérance , on a E(X) = p + p + · · · + p = np. |. {z. n termes. }.

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