Une loi de probabilité discrète : La loi binomiale
I- Introduction
Quatre soirs par semaine Roméo appelle Juliette 1 fois sur son portable. Hélas il tombe trop souvent à son goût sur son répondeur : il estime que cela se produit 2 fois sur 5 lors d’un appel. On désigne parXla variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Roméo arrive à joindre Juliette dans la semaine.
1) Simulation de 20 réalisation deX
Un soir donné on peut simuler un appel de Roméo par0si celui-ci abouti sur la messagerie et 1 dans le cas contraire.
Quelles sont les valeurs prises parX? a) Utilisation de la calculatrice
La fonctionNbrAleataccessible dans le menu≤/ PRB / 1 sur Texas instrument permet d’obtenir un nombre aléatoire appartenant à l’intervaller0,1retRan#accessible dans le menuOPTN/PROB/RANDpermettant la même simulation sur le modèle Casio.
Pour notre simulation on utilisera la commandepartEnt(NbrAleat+0.6)(on obtiendrapartEnt(dans le menu
≤/ NUM /5) pour Texas ouInt(Ran# +0.6)accessible dans le menuOPTN/NUM/IntetOPTN/PROB/RAND sur le modèle Casio.
Il s’agit ici de simuler 4 appels successifs pour cela on pourra créer une liste de 4 résultats avec l’instruc- tionSuite(partEnt(NbrAleat+0.6),A,1,4,1)sur Texas (Suiteétant accessible pary … 9 OPS/5 ) ou Seq(Int(Ran# +0.6),A,1,4,1)sur Casio (Seq s’obtient dansOPTN/ List et Int dansOPTN/ Num)
On souhaite simuler 20 réalisations de X à l’aide de l’instruction précédente. C’est à dire simuler les 4 appels de Roméo sur une période de 20 semaines. Il faut donc pour chaque simulation compter le nombre de 1 dans la liste pour cela on utilisera la fonctionsomme(accessible dans le menuy … 9 MATH5 ) sur Texas ouSum (accessible dansOPTN/List) sur casio
On obtiendra alorssomme(Suite(partEnt(NbrAleat+0.6),A,1,4,1))sur Texas ouSum(Seq(Int(Ran# +0.6),A,1,4,1)) sur Casio.
b) Résultats
Après avoir saisi l’instruction sur la calculatrice, compléter le tableau d’effectifs et de fréquences suivant, il suffit d’appuyer sur la toucheÍ 20 fois de suite en complétant le tableau au fur et à mesure.
X 0 1 2 3 4
Effectifs Fréquences
Construire alors le diagramme des fréquences en utilisant les résultats du tableau.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0 1 2 3 4
2) Réalisation de 500 réalisations deX a) Écrivons un algorithme
On souhaite réaliser 500 simulations c’est à dire simuler les appels sur 500 semaines et calculer dans ce cas les fréquences de réalisation des différentes valeurs deX.
Pour cela compléter l’algorithme suivant :
Algorithme :Simulation sur une période de N semaines Variables : N,k,j,. . . .
Entrées : . . . Traitement
L1Ð t0,1,2,3,4u L2Ð t. . . .u
pour. . .de 1 jusque . . . faire RÐ. . . .
pour. . .de 0 jusque 4faire siR“. . . .alors L2pk`1qÐL2pk`1q`1 fin
fin
L2Ð. . . . Fin
Sorties : Afficher . . . . b) La programmation
On obtient le programme suivant dans le langage de votre calculatrice : TI-82 Stats.fr
Préparation :
Appuyer sur "programme" PRGM Sélectionner "nouveau" NOUV
Donner un nom au programme : ROMEO Saisie :
:Input "Nbre de semaines",N :ClrListL1,L2
:t0,1,2,3,4u ÑL1 :t0,0,0,0,0u ÑL2 :For(J,1,N)
:somme(Suite(partEnt(NbrAleat+0.6),A,1,4,1))ÑR :For(K,0,4)
:If R=K :Then
:1`L2pK`1q ÑL2pK`1q :End
:End :End
:L2˜NÑL2
:DispL2 Utilisation :
Appuyer sur "programme" PRGM Sélectionner "Exécuter" EXEC Sélectionner le programme
Entrer les données ... et laisser faire ...
Casio Graph 35+
Préparation :
Appuyer sur "Menu" MENU Sélectionner "Programme" PRGM Sélectionner "nouveau" NEW
Donner un nom au programme : ROMEO Saisie :
"Nbre de semaines" : ?ÑNê t0,1,2,3,4u ÑList 1ê t0,0,0,0,0u ÑList 2ê For1ÑJ To Nê
Sum(Seq(Int(Ran# +0.6),A,1,4,1))ÑRê For0ÑK To 4ê
If R=Kê
Then List 2[K+1]+1ÑList 2[K+1]ê IfEndê
Nextê Nextê
List 2˜NÑList 1ê List 2
Utilisation :
Appuyer sur "Menu" PRGM Sélectionner le programme Sélectionner "Exécuter" EXE
Entrer les données ... et laisser faire ...
Tester votre programme pourN “500et compléter le tableau et le diagramme suivant :
X 0 1 2 3 4
Fréquences
Construire alors le diagramme des fréquences en utilisant les résultats du tableau.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0 1 2 3 4
3) Vers la loi théorique
Compléter l’arbre et le tableau suivant ou M désigne « la messagerie » et J « Juliette décroche » Écrire l’ensemble des issues possibles.
b b
M . . .
b b b . . . .
b . . . .
b b . . . .
b . . . .
b b b . . . .
b . . . .
b b . . . .
b . . . .
bb
J . . .
b b b . . . .
b . . . .
b b . . . .
b . . . .
b b b . . . .
b . . . .
b b . . . .
b . . . .
Nombre d’appels ayant aboutis Probabilité
En utilisant l’arbre précédent, compléter le tableau de probabilité suivant (on donnera les valeurs exactes).
k 0 1 2 3 4
PpX “kq
Comparer vos résultats avec ceux du tableau correspondant aux 500 simulations deX.
4) Espérance mathématique et variance
Quel est le nombre moyen d’appels où Roméo réussi à joindre Juliette par semaine ?
Afin d’estimer l’espérance mathématique de la variable aléatoireXet sa variance, on va utiliser les 500 simulations stockées dans la listeL2 et les outils statistiques de la calculatrice.
On utilisera moyenne(L1,L2) accessible par y 9 MATH 5 sur Texas et mean(List 1,List 2) accessible OPTN/LISTsur Casio.
On utiliseravariance(L1,L2)accessible pary 9 sur Texas etvariance(List 1,List 2)accessibleOPTN/STAT/Var sur Casio.
Déterminer la moyenne et la variance de la série statistique formée par les 500 simulations. On donnera l’arrondi à 0,01 près des résultats.
Moyenne : . . . Variance : . . . .
En utilisant les résultats trouvés dans le tableau de la question3), calculer l’espérance mathématique et la variance de X. (on donnera les valeurs exactes).
EpXq “. . . . VpXq “. . . .
La loi de la variable aléatoireXest la loi binomiale. Elle a ici pour paramètresn“4(c’est le nombre d’appels par semaine) etp“0,6(c’est la probabilité d’avoir un succès, ici d’obtenir Juliette au téléphone).
Comparer l’espérance mathématique et la variance aux nombresnpetnpp1´pq.
np“. . . .etnpp1´pq “. . . ..
II- La loi de Bernoulli
1) L’épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues,
• l’une appeléesuccèsde probabilitép,
• l’autre appeléeéchecde probabilité1´p.
Définition
Exemple
Le lancer d’une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli. Si le « succès » est l’obtention de pile, « l’échec » sera l’obtention de face.
2) La loi de Bernoulli
La loi de probabilité ci-dessous est appeléeloi de Bernoulli de paramètrep.
issue succès (s) échec (e)
probabilité p 1´p
Définition
Exemple
• Le lancer d’une pièce équilibrée suit une loi de Bernoulli de paramètre0,5.
• On lance une fois un dé équilibré à 6 faces. On appelle succès l’événement « obtenir la face 1 ». Cette expérience suit une loi de Bernoulli de paramètre 16.
3) Variable aléatoire
SoitXune variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que
• PpX “1q “p;
• PpX “0q “1´p.
On dit queXest une variable de Bernoulli de paramètrepou queXsuit une loi de Bernoulli de paramètrep (on le note «XsuitBppq»).
k 1 0
Ppx“kq p 1´p Définition
SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètrep. Alors :
• son espérance mathématique estEpXq “p;
• sa variance estVpXq “pp1´pq.
Théorème
III- La loi binomiale
1) Le shéma de Bernoulli
Un shéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépen- dances.
Définition
Exemple
On lance trois fois succéssivement un dé à 6 faces. On appelle succès l’événement « obtenir la face 1 ». C’est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
2) Coefficients binomiaux
Le nombre de chemins de l’arbre associé à un shéma de Bernoulli d’ordrenconduisant àksuccès pourn répétitions est noté`n
k
˘. Les nombres`n
k
˘sont appelés coefficients binomiaux.
Définition coefficients binomiaux
Remarque :
Touche calculatrice TI :`n
p
˘s’obtient parn≤ PRB/Combinaison p Touche calculatrice Casio :`n
p
˘s’obtient parnOPTN/PROB/nCr p
3) Définitions
On considère un shéma de Bernoulli constitué denépreuves et on noteXla variable aléatoire égale au nombre de succès.
La loi de probabilité de la variable aléatoireXest appeléeloi binomiale de paramètresnetp. Cette loi est notée Bpn; pq.
Définition
SoitXune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresnetp. Alors pour tout entierk, avec 0ďkďn,
PpX“kq “ ˆn
k
˙
pkp1´pqn´k. Théorème
Démonstration
PpX “kq “ `n
k
˘ pk p1´pqn´k
• Le nombre de chemins de l’arbre conduisant àksuccès parminépreuves ;
• la probabilité d’avoirksuccès ;
• la probabilité d’avoirn´kéchecs.
4) Propriétés
SoitXune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresnetp. Alors :
• son espérance mathématique estEpXq “np;
• sa variance estVpXq “npp1´pq;
• son écart-type estσpXq “a
npp1´pq.
Théorème
Exemple 1 :
Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, 5 réponses sont proposées dont une seule est exacte.Xest la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses.
1) Justifier que la loi de probabilité deXest une loi binomiale.
2) Donner la loi de probabilité deXpuis en déduire la probabilité d’avoir au moins 5 bonnes réponses.
3) Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
RemarqueChaque question est une épreuve deBernoullioù le succès est « la réponse est exacte » ; alorsp“ 1 5. Le Q.C.M. est la répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes ; il correspond alors à un schéma de Bernoulli.
Le nombreXde bonnes réponses au Q.C.M. est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 10 et 1 5.
IV- Les coe ffi cients binomiaux
1) Proriétés des coefficients binomiaux
Soitnetpdeux entiers naturels avecpďn.
ˆn 0
˙
“ ˆn
n
˙
“1;
ˆn 1
˙
“n;
ˆn p
˙
“ ˆ n
n´p
˙ . Propriété
♥
Démonstration
• Il n’y a qu’un chemin de l’arbre associé au shéma de bernoulli d’ordrenmenant à 0 succès et un seul chemin menant ànsuccès d’où le premier résultat.
• Il y a exactementnchemins menant à 1 succès.
• À chaque chemin depsuccès, on peut lui associer un chemin àn´péchecs. Donc le nombre de chemins àp succès et le même que le nombre de chemins den´péchecs d’où le dernier résultat.
2) Le triangle dePascal a) La relation
Soitnetpdeux entiers naturels avecpďn´1.
ˆn p
˙
“
ˆn´1 p´1
˙
`
ˆn´1 p
˙ .
Théorème La relation dePascal
♥
Démonstration
On considère l’arbre associé à un shéma de Bernoulli d’ordren.
Parmi les`n
p
˘chemins àpsuccès il y en a de deux types :
• Ceux qui se termine par un succés, il y en a`n´1
p´1
˘.
• Ceux qui se termine par un échecs, il y en a`n´1
p
˘. Au total il y a donc`n´1
p´1
˘``n´1
p
˘chemins àpsuccès dans l’arbre d’où le résultat.
b) Le triangle dePascal L’idée est de représenter les`n
p
˘sous forme de tableau à double entrées : en colonne les valeurs dep, en ligne, celles den.
0 1 2 3 4 . . . p´1 p . . . 0
1 2 3 4 . . .
n´1 `n´1
p´1
˘ `n´1
p
˘
n `n
p
˘
. . .
1
1 1
1 2
+ 1
1 3
+ 3 +
1
1 4
+ 6 +
4 +
1
1 5
+ 10
+ 10 +
5 +
1
1 6
+ 15
+ 20 +
15 +
6 +
1
1 7
+ 21
+ 35
+ 35 +
21 +
7 +
1
1 8
+ 28
+ 56
+ 70 +
56 +
28 +
8 +
1
1 9
+ 36
+ 84
+ 126
+ 126
+ 84
+ 36
+ 9 +
1
1 10
+ 45
+ 120
+ 210
+ 252
+ 210
+ 120
+ 45
+ 10
+ 1
1 11
+ 55
+ 165
+ 330
+ 462
+ 462
+ 330
+ 165
+ 55
+ 11 +
1
1 12
+ 66 +
220 +
495 +
792 +
924 +
792 +
495 +
220 +
66 +
12 +
1
1 13
+ 78 +
286 +
715 +
1287 +
1716 +
1716 +
1287 +
715 +
286 +
78 +
13 +
1
1 14
+ 91
+ 364
+
1001 +
2002 +
3003 +
3432 +
3003 +
2002 +
1001 +
364 +
91 +
14 +
1
1 15
+ 105
+ 455
+
1365 +
3003 +
5005 +
6435 +
6435 +
5005 +
3003 +
1365 +
455 +
105 +
15 +
1
1 16
+ 120
+ 560
+
1820 +
4368 +
8008 +
11440 +
12870 +
11440 +
8008 +
4368 +
1820 +
560 +
120 +
16 +
1
c) Programmation avecXCAS
On crée une procédureTrianglePascal(n)donnant le triangle de Pascal jusqu’au rangn: TrianglePascal(n) :={
local M,j,k ;
M :=matrix(n,n,0) ;
pour j de 0 jusque n-1 faire pour k de 0 jusque n-1 faire si j>k alors M[k,j] :="" ;
sinon si j==0 alors M[k,j] :=1 ; sinon si k==j alors M[k,j] :=1 ;
sinon si (k>0) et (j>0) alors M[k,j] :=M[k-1,j]+M[k-1,j-1] ; fsi;fsi;fsi;fsi;
fpour; fpour;
retourne(M) ; } : ;
Et son appel :
TrianglePascal(6)
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝ 1 1 1 1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
d) Programmation sur la calculatrice
Casio Graph 35+
Programme : PASCAL
"VALEUR MAX DE N" ?ÑAê Identity (A+1)ÑMat Mê Fill(0,Mat M)ê
For1ÑN ToAê 1ÑMat M[N,1]ê For1ÑK ToNê
Mat M[N,K]+Mat M[N,K+1]ÑMat M[N+1,K+1]ê Nextê
Nextê
1ÑMat M[A+1,1]ê Mat M
Pour obtenir :
For To Next SHIFT PRGM COM
Identity Mat Fill OPTN MAT Mat
TI-82 Stats.fr Programme : PASCAL :Input "VALEUR MAX DE N ", A :identity (A+1)Ñ[H]
:Fill (0, [H]) :For(N,1,A) :1Ñ[H] (N,1) :For(K,1,N)
:[H] (N,K)+[H] (N,K+1)Ñ[H] (N+1,K+1) :End
:End
:1Ñ[H] (A+1,1) :Disp [H]
Remarque : Sur TI, les noms des matrices ne vont que jusque J, on a remplacérMsparrHs
Pour obtenir :
Identity Fill MATRX MATH
rHs MATRX NAME
V- Exercices
1) Avec la loi de probabilité
Exercice 1 Le quorum
Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent que chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité 80 %. Les décisions prises par l’assemblée n’ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l’assemblée. Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?
Exercice 2 Paradoxe ?
Paul affirme : « Avec un dé régulier, on a autant de chance d’obtenir au moins un six en 4 lancers que d’obtenir au moins deux six avec 8 lancers ». Sara objecte : « Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle est inférieure à 0,5. ». Qui a raison ?
Exercice 3 Le tir à l’arc
À chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.
Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale 0,99, il atteigne la cible au moins deux fois ? Au moins trois fois ?
Exercice 4 Lancers de pièce
On lance une pièce équilibrée n fois. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir « face » dans 60 % des cas ou plus.
Envisager les cas n =10 , puis n =100 , puis n =1000 .
Donner d’abord, sans calcul, une estimation spontanée du résultat, puis solliciter la calculatrice ( n =10 ) ou un algorithme de calcul ( n =100 et n =1000 ).
2) Avec l’espérance mathématique
Exercice 5 Contrôle de production
Une entreprise fabrique chaque jour 10 000 composants électroniques. Chaque composant présente un défaut avec la probabilité 0,002. Si le composant est repéré comme étant défectueux, il est détruit par l’entreprise, et chaque composant détruit fait perdre 1€à l’entreprise.
1) Les composants sont contrôlés un à un, et chaque contrôle coûte 0,1AC. Quel est le coût moyen journalier pour l’entreprise (contrôles et destruction des composants défectueux) ?
2) Les composants sont regroupés par lots de 10, et on effectue un unique contrôle automatique de chaque lot, qui coûte lui aussi 0,1€. À l’issue de ce contrôle, le lot est accepté si tous les composants sont sains, et globalement détruit si l’un au moins des 10 composants présente un défaut.
Quel est le coût moyen journalier pour l’entreprise de ce nouveau dispositif (contrôles et destruction des composants défectueux) ?
Exercice 6 Le QCM
Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste.
Chaque réponse juste rapporte un point et il n’y a pas de pénalité pour une réponse fausse.
Un candidat répond au hasard à chaque question.
1) Quel nombre total de points peut-il espérer ?
2) Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard, soit égal à 2 sur 20 ?
Exercice 7 Correction de fautes
Un texte contientnerreurs. Lors d’une relecture, on considère que chaque erreur a 80 % de chances d’être corrigée.
Peut-on prévoir, en moyenne, le nombre d’erreurs restantes après une relecture, . . . , aprèskrelectures,kétant un entier supérieur à 1 ?
